Con la palabra óptimo solo podían referirse a un máximo o mínimo. El máximo beneficio o el mínimo gasto son dos óptimos. Si un óptimo fuese un punto crítico podría ser un punto de silla o un punto no diferenciable que no tienen nada de óptimos.
En casi todos los sitios daba por supuesto que era algo ya sabido, aquí he encontrado la definición que me convence:
http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma00-130/lecturas/m130-14.pdf
Para que el punto 2 tenga un óptimo tendrá que tener nulas las derivadas parciales para empezar a hablar.
f(x, y) = ax^3 + 3bxy^2 - 15a^2x - 12y
fx(x,y) = 3ax^2 + 3by^2 -15a^2
fy(xy) = 6bxy -12
Y estas dos derivadas parciales deben ser nulas en el punto (2,1)
3a·2^2 + 3b·1^2 - 15a^2 = 0 ==> 12a + 3b - 15a^2 = 0
6b·1·2 - 12 = 0 ==> 12b=12 ==> b=1
-15a^2 + 12a + 3 = 0
5a^2 - 4a - 1 = 0
a= [4+-sqrt(16+20)]/10
a=4+-6/10
a= 1 y -1/5
Luego (2,1) es punto critico en estos dos casos
a=1 y b=1
a=-1/5 y b=1
Calculamos la matriz Hessiana en esos puntos
fxx= 6ax
fxy=fyx=6by
fyy=6bx
Primero calculamos el caso a=1 y b=1, recordár que (x,y)=(2,1)
| 12 6 |
Hf = | |
| 6 12|
LOs menores principales son 12 y (12·12-6·6)=108 ambos positivos, luego el punto es un mínimo y optimo por lo tanto
La matriz Hessiana con a=-1/5, b=1, x=2 e y=1 es
| -12/5 6 |
| 6 12|
El menor principal de orden uno es negativo
El de orden 2 es -12·12/5 -6*6 negativo también
En este caso es un punto de silla.
La teoría dice que:
1) Si son todos positivos es mínimo.
2) Si impares negativos y pares positivos es máximo.
3) Si todos distintos de cero y no se cumple ni uno ni 2 es punto de silla
4) Si hay algún cero no se puede decir nada y hay que estudiarlo
en el caso concreto n=2, H1= 0 y H2<0 hay punto de silla
Todo esto lo dice en http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_hessiana
Nuestro caso es el 3)
Podrían también calcularse los autovalores, y verías que hay uno positivo y otro negativo.
Luego con a=-1/5 y b= 1 no hay óptimo.
Resumiendo, el optimo se obtiene con a=1, b= 1.
Y eso es todo.