Prueba sobre límite de sucesiones
Pruébese que en
$$$$
En consecuencia pruébese que el axioma de completitud es equivalente al enunciado que dice que toda sucesión decreciente
$$x_{1}\geq x_{2}\geq x_{3} \cdots$$acotada inferiormente converg. Demuéstrese que el límite de la sucesión es
$$inf\{x_{1},x_{2},...\}.$$
1 Respuesta
$$\mathbb{R}, \,\, x_{n}\rightarrow x \,\, si \,\, -x_{n}\rightarrow -x$$eso es lo que falto y es entre
pruébese que en ....... y En consecuencia...................
una disculapa
saludos
Supongamos que -Xn tiende a -x y vamos a demostrar que Xn tiende a x
Dado un epsilon>0 existe un k>0 tal que si n>k se cumple
|-Xn -(-x)| < epsilon <==> |-Xn +x | < epsilon <==> |Xn - x| <epsilon <==> lim Xn=x
--------------------------------
El axioma de completitud se expresa de formas distintas. Por lo que nos han pedido demostrar antes se supone que se debe emplear el que dice que un cuerpo es completo si y solo si toda sucesión monotana creciente acotada es convergente.
Dada una sucesión monotona decreciente Xn tomeremos la sucesión -Xn. Cuando cambiamos de signo los elementos de una desigualdad cambia el sentido de la desigualdad, entonces -Xn es una sucesión creciente acotada superiormente por el opuesto de la la cota inferior que tenía Xn y por tanto convergerá a ún limite que llamaremos -x. Y por lo demostrado en el apartado anterior la sucesion Xn convergerá a -(-x) = x.
-------------------------------
Si el límite L fuera mayor que el ínfimo Inf, habrá un Xn más cerca del infimo que del límite
Inf <= Xn < (L + Inf)/2
Y todo Xk con k > n se seguirá cumpliendo esa desigualdad porque Xn es decreciente
Si tomamos epsilon = (L-Inf) / 2 tendremos que para todo k>n
Xn < (L + Inf)/2
Xn < L/2 + Inf/2
Xn - L < -L/2 + Inf/2
L-Xn > (L-Inf)/2 = epsilon
|L-Xn| > epsilon para todo n > k
Absurdo porque L es el límite de Xn, luego el límite es menor o igual que el ínfimo
Si fuese menor que el ínfimo vamos a llegar a otro absurdo. Tomaríamos
epsilon = inf - L
para todo n se cumple
Xn >= Inf = L+epsilon
Xn-L >=epsilon
|Xn-L| >= epsilon
Y sería absurdo porque L no sería el límite.
Como consecuencia de los dos absurdos se tiene Inf = L que es lo que nos piden.
Y eso es todo.
