¿Cómo puedo resolver la siguiente integral?

Primeramente comprobaremos cuáles son las raíces del denominador. Y nos damos cuenta que es un cubo perfecto. Por la fórmula del binomio de Newton es (x-1)^3. Luego ya sabemos que es una integral racional con raíces reales múltiples. El método que se usa en este caso es descomponer la integral en la suma de tres de esta forma

(x+3)/(x^3-3x^2+3x-1) = a/(x-1) + b/(x-1)^2 + c/(x-1)^3=

[a(x-1)^2 + b(x-1) +c]/(x-1)^3 =

(ax^2+a-2ax +bx -b +c)/(x-1)^3 =

[ax^2+(-2a+b)x +a-b+c)/(x-1)^3

El denominador es el mismo que el de la primera igualdad, luego el numerador tiene que ser el mismo.

x+3 = ax^2 +(-2a+b)x + a-b+c

De lo que se deducen tres ecuaciones al igualar los coeficientes de los dos polinomios, que resolveremos sobre la marcha porque son múy fáciles

a=0

-2a+b = 1 ==> b= 1

a-b+c= 3 ==> -1+c = 3 ==> c=4

Y una vez calculados a,b y c ya tenemos las integrales simples

$[(x+3)/(x^3-3x^2+3x-1)]dx = $dx/(x-1)^2 + 4$dx/(x-1)^3 =

-1/(x-1) - 4·[(x-1)^(-2)]/2 + C =

-1/(x-1) -2/(x-1)^2 +C =

(-x+1-2)/(x-1)^2 + C =

-(x+1)/(x^2-2x+1) +C

Y eso es todo.