Ejercicios de variables continuas y sus distribuciones de probabilidad

1) No es necesaria mucha teoría para resolverlo, se resuelve con nada. Pero vamos a hacerlo como si fuera un ejercicio genérico de funciones de densidad, distribución y todo. Así podrás ver como funciona un ejercicio más difícil con un ejemplo fácil.

La distribución uniforme en un intervalo (a, b) tiene como función de densidad

f(x) = 1/(b-a) si a <= x <= b

0 en el resto

Y la de distribución es la integral en los puntos donde la función de densidad es no nula

F(x) = 0 si x < a

$dt/(b-a) entre a y x; si a <= x <= b. Donde $ es el símbolo que uso para designar la integral.

1 si x >b

La integral es sencillísima:

$dt/(b-a) = t/(b-a)

Evaluada entre a y x es

x/(b-a)-a(b-a) = (x-a)/(b-a)

Luego F(x) = (x-a) / (b-a) si a <= x <= b

Y en nuestro ejercicio a=0 y b=500

F(x) = x/500

A no más de 25 pies del final significa que tenga valor entre 475 y 500

Entonces la probabilidad es:

F(500)-F(475) = 500/500 - 475/500 = 25/500 = 1/20

A no más de 25 pies del principio significa que tenga valor entre 0 y 25

F(25)-F(0) = 25/500 - 0/500 = 25/500 = 1/20

Más cerca del principio de línea será cuando el punto este entre 0 y 250

F(250)-F(0) = 250/500 - 0/500 = 250/500 = 1/2

2)

a) Tenemos una distribución normal X con media 480 y desviación estándar 100. La tipificamos mediante el cambio de variable

Y = (X-480)/100 para tener una N(0,1) y así podremos consultar el valor en las tablas

P(X<=550) = P(Y<=(550-480)/100) = P(Y<=70/100) = P(Y<=0,7)

Y consultamos este valor en la tabla.

Tabla(0,7) =0,7589

Luego el porcentaje de alumnos con nota inferior a 550 es el 75,89%

En el otro examen el promedio es 18 y la desviación es 6. Se trata de poner una calificación mínima para que el 0,7589 de los alumnos no la superen.

b)

Ahora consiste en hacerlo al revés, sabemos por lo resuelto antes que la variable tipificada debe valer menos de 0,7 para que su probabilidad valga 0,7589

Esto aplicado a la variable tipificada del otro examen es:

(Nota mímima - 18) / 6 = 0,7

Nota mínima - 18 = 6 · 0,7 = 4,2

Nota mínima = 4,2 + 18 = 22,2

Luego debe poner una nota mínima de 22,2 para equiparar ambos exámenes.

Y eso es todo.