Función de costo marginal
La función de costo marginal para cierto producto es: C= 400X^2
----------
vX^3+4600
Donde x es el número de unidades. Se sabe cuando se producen 50 unidades el costo total es de $1’500,000.
Se pide:
Determinar el costo fijo.
La letra v es una variable, la velocidad por ejemplo o un vector cuando estamos en el tema de espacios vectoriales, etc. Pero nunca puede ser un radical de raíz cuadrada y menos sin especificar con paréntesis cuántos de los sumandos posteriores entran dentro del radical.
En todos los lenguajes de programación y programas de cálculo y gráficas se usa sqrt de "square root" para denotar la raíz cuadrada. No es que amí me guste particularmente, pero es lo que te vas a encontrar por la vida, luego llamaremos sqrt a la raíz cuadrada y es muy importante que después se pone lo de dentro del radical entre paréntesis. La función sería esta
Cm(x) = 400x^2 / sqrt(x^3 + 4600)
Sabemos que el costo marginal es la derivada del costo respecto de la cantidad. Como aquí la cantidad es x, es la derivada respecto a x. Luego el costo es la integral del costo marginal respecto a x. Vamos a calcularlo.
$$\begin{align}&C(x)= \int \frac{400x^2dx}{\sqrt{x^3+4600}}=\\ &\\ &\\ &\text{Hacemos el cambio}\\ &t=x^3+4600\\ &dt = 3x^2dx\implies x^2dx=\frac {dt}{3}\\ &\\ &\\ &\frac{400}{3}\int \frac{dt}{\sqrt t}=\frac{800 \sqrt t}{3}+C=\\ &\\ &\\ &\frac{800 \sqrt{x^3+4600}}{3}+C\end{align}$$Y lo único que queda por calcular es la C, pero para eso nos han dado el valor de la función en un punto, para poder calcularla.
$$\begin{align}&C(50)=1500000 \implies\\ &\\ &\frac{800 \sqrt{50^3+4600}}{3}+C = 1500000\\ &\\ &\frac{800 \sqrt{129600}}{3}+C=1500000\\ &\\ &\frac{800·360}{3}+C =1500000\\ &\\ &96000+C = 1500000\\ &\\ &C = 1500000-96000=1404000\\ &\\ &\text{Luego la función de coste definitiva es:}\\ &\\ &C(x)=\frac{800 \sqrt{x^3+4600}}{3}+1404000\end{align}$$Y eso es todo.
