Una ayudita en matemáticas
Hola, tengo un problemita que no
Estoy seguro de la solución
Dice así
"descubra el error en el siguiente teorema"
"Dado un conjunto de n estudiantes.Si uno
de ellos es estudioso, entonces todos son
estudiosos"
Demostración:
Si n=1, la proposicion es evidentemente
Verdadera
Supongamos la proposion verdadera para n
Examinemosla para n+1
Sean E(1), E(2),... E(n+1), n+1 estudiantes
tales que al menos uno de ellos es estudioso
por ejemplo, E(1)
Tomenos entonces E(1),E(2),....,E(n-1),E(n+1)
Que también son n estudiantes, por lo tanto todos
estudiosos,( pues E(1) es estudioso) luego
tenemos E(1), E(2), E(3),..., E(n+1) estudiosos
(Listo)
Si fuera esta proposición verdadera, bastaría
tener un mateo en el curso y todos aprobados !
(Bonito verdad)
agradeceria cualquier explicacion
si conoce problemas similares
le agradeceria algun links
Estoy seguro de la solución
Dice así
"descubra el error en el siguiente teorema"
"Dado un conjunto de n estudiantes.Si uno
de ellos es estudioso, entonces todos son
estudiosos"
Demostración:
Si n=1, la proposicion es evidentemente
Verdadera
Supongamos la proposion verdadera para n
Examinemosla para n+1
Sean E(1), E(2),... E(n+1), n+1 estudiantes
tales que al menos uno de ellos es estudioso
por ejemplo, E(1)
Tomenos entonces E(1),E(2),....,E(n-1),E(n+1)
Que también son n estudiantes, por lo tanto todos
estudiosos,( pues E(1) es estudioso) luego
tenemos E(1), E(2), E(3),..., E(n+1) estudiosos
(Listo)
Si fuera esta proposición verdadera, bastaría
tener un mateo en el curso y todos aprobados !
(Bonito verdad)
agradeceria cualquier explicacion
si conoce problemas similares
le agradeceria algun links
2 Respuestas
Respuesta de bargelkar
1
Supongamos que podemos distinguir dos subconjuntos en el formado por n estudiantes: el subconjunto de los "estudiosos" y el de los "no estudiosos".
Si n=1, y al menos hay un elemento que pertenece al primer subconjunto, la proposición es evidentemente verdadera.
Si n>1, el primer elemento (el indiscutible) pertenecerá al subconjunto de estudiosos. Los demás (como es lógico) pertenecerán a un subconjunto u otro según ciertos criterios.
Según el álgebra de Boole, para que una conjunción (suma lógica) sea verdadera, deben ser verdaderos todos los elementos conjugados, es decir, que E(1) debe ser estudioso, E(2) debe ser estudioso, E(n) debe ser estudioso...
E(1) y E(2) y E(n) = todos estudiosos
si
E(1) = estudioso
E(2) = estudioso
.
.
.
E(n) = estudioso
En el teorema se establece que al menos E(1) = estudioso, de forma que no se afirma que E(2) sea igual a E(1) (se dice "al menos uno".
Por tanto, si el teorema plantease en las condiciones (y no en las conclusiones) que todos los elementos pertenecen al grupo de los estudiosos, sería tautológico; la consecuencia directa sería que el subconjunto de los "no estudiosos" estaría vacío.
Como dice usted, para n=1 es evidente. El problema llega cuando considera que n = n+1.
Si n=1, y al menos hay un elemento que pertenece al primer subconjunto, la proposición es evidentemente verdadera.
Si n>1, el primer elemento (el indiscutible) pertenecerá al subconjunto de estudiosos. Los demás (como es lógico) pertenecerán a un subconjunto u otro según ciertos criterios.
Según el álgebra de Boole, para que una conjunción (suma lógica) sea verdadera, deben ser verdaderos todos los elementos conjugados, es decir, que E(1) debe ser estudioso, E(2) debe ser estudioso, E(n) debe ser estudioso...
E(1) y E(2) y E(n) = todos estudiosos
si
E(1) = estudioso
E(2) = estudioso
.
.
.
E(n) = estudioso
En el teorema se establece que al menos E(1) = estudioso, de forma que no se afirma que E(2) sea igual a E(1) (se dice "al menos uno".
Por tanto, si el teorema plantease en las condiciones (y no en las conclusiones) que todos los elementos pertenecen al grupo de los estudiosos, sería tautológico; la consecuencia directa sería que el subconjunto de los "no estudiosos" estaría vacío.
Como dice usted, para n=1 es evidente. El problema llega cuando considera que n = n+1.
Seria tan amable de explicarme un poco más las ideas, como que las entiendo, como que se me van
Gracias de antemano
Gracias de antemano
Veamos otro ejemplo para que al menos pueda compararlos.
Supongamos una discoteca en la que se prohíbe la entrada si no se lleva chaqueta y corbata.
El teorema a enunciar sería: "Si usted no viste chaqueta y corbata, entonces no puede entrar".
Supongamos ahora que usted lleva chaqueta y corbata, y denominemos POR a la chaqueta, C a la corbata y E a la entrada al local.
Matemáticamente, esto se podría expresar como
X + C = E
Para que este planteamiento sea válido, según le hablé anteriormente del álgebra de Boole, POR y C deberían cumplirse, es decir, usted debería vestir chaqueta y corbata.
X (verdadero) + C (verdadero) = E (verdadero).
Veamos ahora una disyunción, en lugar de una conjunción, para rematar la idea.
Supongamos ahora que para entrar en la discoteca necesita vestir chaqueta O corbata, indistintamente.
En tal caso, bastaría con que una de las variables fuese verdadera para que el teorema se cumpliera.
X (verdadero) ó C (falso) = E (verdadero)
Usted puede entrar en la discoteca aunque no lleve corbata, puesto que sí que lleva chaqueta; y lo mismo ocurriría si POR fuese falso y C verdadero.
En resumen: basta con que lleve una de las dos cosas para que se cumpla el teorema.
No obstante, debemos recordar que en su problema hay una conjunción (y), no una disyunción (o).
Supongamos en su problema dos subconjuntos en clase, el de los estudiosos (S) y el de los no estudiosos (N).
Según plantea el teorema, podríamos decir
E(1) + E(2) + ... + E(n) = (S).
Piense en que esas E no son alumnos, sino chaquetas, corbatas, zapatos y todo lo que se le ocurra.
El teorema afirma que si uno es estudioso, todos lo serán. Esto sería cierto si se tratara de una disyunción.
Pero hablamos de una conjunción, y para que se cumpla deben ser verdaderos todos sus elementos, es decir:
E(1)pertenece a S
E(2) pertenece a S
.
.
.
E(n) pertenece a S
Las condiciones del teorema afirman que AL MENOS UNO pertenece a S, de forma que si n=1, siempre se cumplirá (será una tautología).
Podría cumplirse que todos pertenecieran a S, pero eso no está demostrado. Eso sería como decir que llevar chaqueta supone llevar corbata.
Por tanto, podemos asegurar que cuando n=1, el teorema se cumple; pero cuando n>1, dependerá del resto de las variables (en resumen, todos los alumnos, y no solamente uno, deberán ser estudiosos). Para demostrarlo, basta con comprobar que este teorema se enuncia como conjunción.
Espero que le haya quedado más claro. No dude en volver a preguntar si lo necesita.
Supongamos una discoteca en la que se prohíbe la entrada si no se lleva chaqueta y corbata.
El teorema a enunciar sería: "Si usted no viste chaqueta y corbata, entonces no puede entrar".
Supongamos ahora que usted lleva chaqueta y corbata, y denominemos POR a la chaqueta, C a la corbata y E a la entrada al local.
Matemáticamente, esto se podría expresar como
X + C = E
Para que este planteamiento sea válido, según le hablé anteriormente del álgebra de Boole, POR y C deberían cumplirse, es decir, usted debería vestir chaqueta y corbata.
X (verdadero) + C (verdadero) = E (verdadero).
Veamos ahora una disyunción, en lugar de una conjunción, para rematar la idea.
Supongamos ahora que para entrar en la discoteca necesita vestir chaqueta O corbata, indistintamente.
En tal caso, bastaría con que una de las variables fuese verdadera para que el teorema se cumpliera.
X (verdadero) ó C (falso) = E (verdadero)
Usted puede entrar en la discoteca aunque no lleve corbata, puesto que sí que lleva chaqueta; y lo mismo ocurriría si POR fuese falso y C verdadero.
En resumen: basta con que lleve una de las dos cosas para que se cumpla el teorema.
No obstante, debemos recordar que en su problema hay una conjunción (y), no una disyunción (o).
Supongamos en su problema dos subconjuntos en clase, el de los estudiosos (S) y el de los no estudiosos (N).
Según plantea el teorema, podríamos decir
E(1) + E(2) + ... + E(n) = (S).
Piense en que esas E no son alumnos, sino chaquetas, corbatas, zapatos y todo lo que se le ocurra.
El teorema afirma que si uno es estudioso, todos lo serán. Esto sería cierto si se tratara de una disyunción.
Pero hablamos de una conjunción, y para que se cumpla deben ser verdaderos todos sus elementos, es decir:
E(1)pertenece a S
E(2) pertenece a S
.
.
.
E(n) pertenece a S
Las condiciones del teorema afirman que AL MENOS UNO pertenece a S, de forma que si n=1, siempre se cumplirá (será una tautología).
Podría cumplirse que todos pertenecieran a S, pero eso no está demostrado. Eso sería como decir que llevar chaqueta supone llevar corbata.
Por tanto, podemos asegurar que cuando n=1, el teorema se cumple; pero cuando n>1, dependerá del resto de las variables (en resumen, todos los alumnos, y no solamente uno, deberán ser estudiosos). Para demostrarlo, basta con comprobar que este teorema se enuncia como conjunción.
Espero que le haya quedado más claro. No dude en volver a preguntar si lo necesita.
Respuesta de miguelgc
1
No es mi campo, pero creo haber encontrado el error. Estás aplicando la propiedad de la inducción matemática que lo cumplen sólo los números naturales. Pero los alumnos NO son números naturales, sino personas, por tanto la inducción matemática no es aplicable.
No sé si te ha ayudado. Un saludo. ;-D
No sé si te ha ayudado. Un saludo. ;-D