¿Me puede perseguir un empresario?

No tienes que meterte en esos problemas. Cuando se produzca el despido, si es que se produce, lo que diga el empresario en el mismo (como que la ha visto levantando pesas de 200kg en la plaza del pueblo) es sólo una afirmación que hace la empresa que es parte interesada, y que por supuesto no puede probar y aunque pudiera probarlo no demuestra nada.
En ningún sitio dice que de baja no se pueda llevar al hijo al colegio o incluso que no se pueda viajar. Lo único que hay que hacer es seguir el tratamiento médico que diga el doctor, y que por cierto la empresa desconoce cuál es. Por lo demás no hay nada "prohibido".
En cuanto a la actitud del empresario, en mi opinión se trata de acoso laboral. Por eso en el burofax no ha dicho que él mismo haya hecho ese seguimiento. Pero el día del juicio tu abogado le preguntará quién ha visto a Fulanita levantando pesas, y ese supuesto testigo es quien debería ir al juicio a testificar. Por tanto, el día del juicio o dice que lo hizo él, cosa que es acoso en mi opinión, o dice que lo hizo otra persona, y entonces se la llama a declarar. Pero ya te digo que una cosa es decir y otra es probar y otra más es probar lo que hay que probar, es decir que no tienes enfermedad. Eso y no otra cosa es la que tendrían que probar: que estás fingiendo enfermedad.
Por tanto, tu amiga o quien sea en este caso tiene muy fácil poner la demanda por despido improcedente. Lee este artículo sobre pasos a seguir en cualquier tipo de despido.
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En el caso de que la persecución la haya hecho el empresario o alguien de su entorno cercano y no por un detective colegiado por la policía nacional que medidas se pueden tomar al respecto. ¿Se puede interponer una denuncia penal por usurpación de funciones y violación de la intimidad? Para mi es importante este punto gracias.