¿Quién realiza los certificados médicos?

Necesito certificados médicos que me exigen para presentarme a oposiciones, y cada vez que voy a mi médico de cabecera me dice que ella no tiene esa competencia que me tengo que ir al privado. ¿Entonces para qué pagamos la seguridad social?
También sé que acompañeros míos sus médicos de cabecera se los hacen. ¿Qué puedo hacer o decirle a mi doctora para que me cumplimente el certificado médico?