Acceder a mi correo web desde mi página web

Si, es posible. Lo que tienes que hacer es tener claro qué parámetros se pasan desde la página de login y password originales de tu correo y con eso hacer un form que en el parámetro action se ponga la misma dirección que dice la página original, poniendo en los campos Input los mismos nombres de la página original.
¿Se entiende? Para ver estos parámetros pon "Ver código fuente" en la página de acceso a tu correo y analízala.
Atentamente., Germán.

claro que si, todo se puede hacer, lo que tienes que tener claro es el action del tu form, mira el formulario de donde ingresas tu usuario y password siempre, si vez al inicio del formulario deberia decir algo como <form action="paginadelcorreo.algo">, ese 'paginadelcorreo.algo' debes ponerlo en el action de tu formulario,
Ojala me hayas entendido algo je je,

No si tu servidor de correo no lo permite... O tu servidor web.
A ver, te comento: El servicio web va por HTTP y el correo por SMTP, dos servicios distintos y que tu quieres asociar de alguna forma. Esto lo hacen (lo de asociarlo) todos los clientes de webmail, pero si te das cuenta, solo lo hacen a su propio servidor, me explico. Msn, iespana, yahoo, lycos... tienen servicio de webmail, pero no de otra entidad, sino de la suya propia. En tu caso tu eres una entidad y tienes tu correo en otra, luego si la otra no te da permisos para acceder externamente (vía HTTP) o consigues que el servidor que contrates soporte conexiones SMTP (eso es lo que hace outlook express y demás clientes de correos) no podrás hacer nada.