Calcular la integral de cero hasta 1

Esta integral tiene la dificultad del valor absoluto, por lo demás es fácil. Como el valor absoluto es siempre positivo tenemos que sustituirlo por funciones positivas cuando lo quitemos.

Veamos si el interior del valor absoluto cambia de signo en el intervalo de integración

3x-2 < 0

3x < 2

x <2/3

En efecto, 2/3 pertenece al intervalo [0, 1]

Lo que haremos será dividir la integral en dos integrales una entre 0 y 2/3 y la otra entre 2/3 y 1

Veamos que si x está antes de 2/3 el signo del interior es negativo, puedes comprobarlo con x=0

3·0-2 =-2 <0

mientras que si es posterior a 3/2 es positivo

3·1 - 2 =1 >0

Luego antes de 3/2 hay que cambiar el signo del interior para que sea positivo, y después se puede quitar el valor absoluto sin tocar nada.

$$\begin{align}&\int_0^1\left |{3x-2}\right |dx= \\ &\\ &\int_0^{2/3}(-3x+2)dx+\int_{2/3}^1(3x-2)dx=\\ &\\ &\left[-\frac 32x^2+2x  \right]_0^{2/3}+\left[\frac 32x^2-2x \right]_{2/3}^1=\\ &\\ &-\frac{3}{2}·\frac 49 +\frac 43+0-0+\frac 32-2-\frac 32·\frac 49+\frac 43=\\ &\\ &-\frac 23+\frac 43+\frac 32-2-\frac 23+ \frac 43=\\ &\\ &\frac 43+ \frac 32-2 = \frac{8+9-12}{6}=\frac 56\end{align}$$

Y eso es todo.