¿Cómo graficar función racional con asintotas?
Me podrías explicar cómo puedo graficar esto. Si me piden las asintotas. Cuales son los pasos que debo seguir.
$$f(x)= \frac{3x-2}{\sqrt{{x^2+1}}}$$Si me piden las asintotas. Cuales son los pasos que debo seguir.
1 respuesta
Hay tres tipos de asíntotas:
La asíntota vertical se da cuando en un punto finito la función tiende a infinito. Suele darse cuando el denominador es cero o algún otro caso como los logaritmos en el punto 0
Esta función no tiene asíntotas verticales porque es denominador nno es nunca 0, el interior de la raíz cuadrada es siempre mayor que 1 y por eso nunca es cero.
La asíntota horizontal se da cuando el límite en +oo o -oo de la función es un número finito, Vamos a calcular esos límites
$$\begin{align}&\lim_{x\to+\infty} \frac{3x-2}{\sqrt{{x^2+1}}}=\\ &\\ &\text {dividimos por x}\\ &\\ &\lim_{x\to+\infty} \frac{\frac{3x-2}{x}}{\frac{\sqrt{{x^2+1}}}{x}}=\lim_{x\to\-\infty}\frac{3-\frac 2x}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=\\ &\\ &\frac{3-0}{\sqrt{1+0}}=3\\ &\\ &-----------\\ &\\ &\lim_{x\to-\infty} \frac{3x-2}{\sqrt{{x^2+1}}}=\\ &\\ &\text {aquí dividimos por |x|}\\ &\\ &\lim_{x\to-\infty} \frac{\frac{3x-2}{|x|}}{\frac{\sqrt{{x^2+1}}}{|x|}}=\lim_{x\to\infty}\frac{-3-\frac 2{|x|}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}= -3\\ &\end{align}$$Luego en -infinito la asíntota horizontal es la recta
y=-3
y en +infinito la asíntota horizontal es
y=3
Y cuando hay asíntota horizontal no hay oblicuas. En realidad la horizontal y oblicua es lo mismo pero la horizontal se calcula como caso aparte porque es más sencilla.
Y eso es todo.
Gracias. Disculpa que te pregunte, pero si lo hago es por necesito aprender. ¿Por què en el limite más infinito se divide por X y en el limite menos infinito se divide por valor absoluto de X. A lo mejor esté equivocado pero pensé que se divide por la mayor potencia del denominador, es esto cierto o ¿no? Espero que me lo aclares. Y otra cosa no existe asíntotas verticales en este ejercicio? solo horizontales?
Gracias por todo, en verdad me es de mucha ayuda. Disculpe que le pida aclaración pero no tengo a quien más.
Es porque se debe mantener el signo del límite. Cuando x -->+oo la expresión es positiva y es lo que resulta al final que vale 3. Pero cuando x-->-oo la expresión toma valores negativos, si dividieras entre x de la misma forma que antes y metieras un x dentro de la raíz sin hacer nada más lo que habrías hecho sería cambiar de signo la expresión sin darte cuenta y el límite te daría 3 en vez de -3. Por eso me aseguro que no se cambia el signo del límite dividiendo por |x| una cantidad que es siempre positiva.
También se podría haber hecho con el limite en +oo pero como ahi x tiene valores positivos cuando se tiende a +oo no era necesario.
No, no hay asíntotas verticales porque el denominador no se anula nunca. Si en vez de raíz(1+x*2) hubiese sido raíz(x^2 -1) habría asíntotas verticales en -1 y 1 amen del intervalo(-1, 1) donde no estaría definida la función.
Y eso es todo.
