Integrales de variable compleja 1
Aplica el teorema de Cauchy-Goursat para evaluar la integral:
$$\begin{align}&∮_σ〖(sechz)dz〗\end{align}$$que representa el movimiento de una partícula sobre la curva:
$$\begin{align}&σ\end{align}$$
Que representa al circulo:
$$\begin{align}&|z|=1\end{align}$$
1 respuesta
Amo Mo!
Es la primera vez queme enfrento a una secante hiperbólica, vamos a ver cómo es.
f(z) = sech(z) = 1/ch(z) = 1 / ([e^x + e^(-x)] / 2) = 2 / [e^x + e^(-x)]
Como las esponenciales son siempre estrictamente positivas, el denominador es estrictamente positivo y es una composición de funciones analíticas, con primitiva, derivada continua y todo lo buenas que se pueda ser, en resumen que sech(z) es analítica en todo el plano complejo por lo que podemos tomar un dominio D que envuelva al camino, simplemente un cículo de radio 2.
Tendremos entonces un camino sigma cerrado y simple contenido en un dominio D simplemente conexo en el cual la función f(z) es analítica. Esas son las condiciones del teorema de Cauchy-Goursat, luego se cumple la conclusión
$$\begin{align}&\oint_C f(z)dz=0\\ &\\ &\oint_Csech(z)dz = 0\end{align}$$Y eso es todo.
