Hallar la solución general de la ecuación diferencial y''-2y'+2y=e^t( Sec t)

La ecuación característica es:

k^2 - 2k + 2 = 0

Las raíces de esa ecuación son complejas

$$\begin{align}&k=\frac{2\pm \sqrt{4-8}}{2}= 1\pm i\\ &\\ &\text{La solución general de la ecuación homogénea es:}\\ &\\ &y=e^t(Acost+Bsent)\end{align}$$

donde A y B son constantes arbitrarias. Ahora debemos hallar una solución particular de la ecuación completa y la suma de esta general y esa particular será la solución general de la ecuación completa.

Por el método de variación de las constantes.

Tomamos dos soluciones particulares

y1 = (e^t)cost

y2 = (e^t)sent

Hallaremos funciones A(t) y B(t) tales que cumplan este sistema

A'·y1 + B'·y2 = 0

A'·(y1)' + B'·(y2)' = f(t)

A'(e^t)cost + B'(e^t)sent = 0

A'(e^t)(cost -sent) + B'(e^t)(sent+cost) = e^t / cost

Si al segundo le restamos el primero

-A'(e^t)sent + B'(e^t)cost = e^t / cost

-A'·sent + B'·cost = 1/cost

Y de la primera tenemos A = -B'sent/cost, sustituyendo

B'·sen^2(t) / cost + B'·cost = 1/cost

Multiplicamos por cost

B'·sen^2(t) + B'·cos^2(t) = 1

B'(sen^2(t)+cos^(t)) = 1

B'=1

A' = -1·sent/cost = -tgt

Y ahora integramos

B = t + C1

A = ln|cost| + C2

Luego una solución particular de la no homogénea puede ser

y* = A·cost + B·cost

tomando C1=C2=0

y* = ln|cost|·e^t·cost +t·e^t·sent

Y entonces la solución general de la ecuación completa es la general de la homogénea más esta partícular

y = e^t(A·cost+B·sent) + ln|cost|·e^t·cost +t·e^t·sent

y = e^t[(A+ln|cost|)cost +(B+t)sent]

Y eso es todo.

no me termino de enterar muy bien yo lo he hecho por coeficientes indeterminados y me sale que la homogénea es Yh(t)=C1 e^t(cost)+C2 e^t(sent)

la solución particular Yp(t)=Asent+Bcost

Y'p(t)=Acost-Bsent ; Y''p(t)=-Asent-Bcost

después de sustituir me da que Yp(t)=-2sent-cost por lo tanto la solución general Y(t)=-2sent-cost+C1 e^t(cost)+C2 e^t(sent)