Series de funciones del calculo
Sea
$$\begin{align}&a_n \geq0\end{align}$$
para
$$\begin{align}&n \in N\end{align}$$
Suponga que
$$\begin{align}&\sum _{n=1}^{\infty} a_n \end{align}$$
converge
Demuestre que
$$\begin{align}&\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sqrt{a_n}\end{align}$$
converge
Sugerencia recordar
$$\begin{align}&2ab \leq a^2+b^2\end{align}$$
implica que haz
$$\begin{align}&a=\sqrt{a_n} \\ &b=\frac{1}{n}\end{align}$$
ademas calcula manualmente
$$\begin{align}&B_2 (f,x)\end{align}$$Te recomiendo q cheques los apuntes q te envié de analisis 2 saludos
1 Respuesta
Mat cdr!
Efectivamente
2ab <= a^2+b^2
Si uno es positivo y otro negativo es obvio, si uno o los dos son 0 también
Si a,b >=0
0 <= (a-b)^2 = a^2 +b^2 - 2ab
2ab < a^2+b^2
Y si los dos son negativos es la misma cuenta.
Haciendo lo que nos dicen
$$\begin{align}&a=\sqrt{a_n}\\ & b=\frac 1n\\ & \\ & 2 \sqrt {a_n}·\frac 1n \le a_n+\frac 1{n^2}\end{align}$$La serie an es convergente por hipótesis. Y la seríe 1/n^2 es muy famosa y es convergente como todas aquellas series de la forma 1/n^k con k>1.
En concreto la serie 1/n^2 converge a (pi^2)/6
Por lo tanto la suma de las dos es un aserie convergente.
Y hay un teorema que dice que si una serie de términos positivos puede ser mayorada por otra serie convergente, entonces la primera es convergente, por lo cual la serie
2sqrt(an)/n es convergente
Y también lo es sqrt(an)/n que es la que nos piden.
¿Qué es el B2(f,x)? ¿Polinomio de Bernstein? ¿y a qué llamas f?
B2(fx) es el polinomio de Berstein
Llamo a f al termino de la serie 1/n sqrt(a_n)
De acuerdo con la definición
$$\begin{align}&B_2(x)=\sum_{k=0}^2f\left(\frac k2 \right)\binom 2k x^k(1-x)^{2-k}=\\ & \\ & f(0)(1-x)^2+2·f\left( \frac 12 \right)x(1-x)+f(1)x^2=\\ &\\ &\left(f(0)-2f\left(\frac 12\right)+f(1) \right)x^2+2\left(-f(0)+f\left(\frac 12 \right) \right)x+f(0)\end{align}$$Con respecto a f no sé lo que quieres decir, f debe ser una función de x. Si la serie fuera una serie de funciones convergente a una función f bien, pero la serie que nos dan no es una serie de funciones.
Y eso es todo.
