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$$\begin{align}&\int \sqrt{x-25}\sqrt{x}dx=\\ &\\ &\int \sqrt{x^2-25x}\;dx=\\ &\\ &\text{completamos cuadrados}\\ &\\ &\int \sqrt{\left(x-\frac {25}2\right)^2-\left(\frac{25}2\right)^2}\;dx=\\ &\\ &\frac 12\int \sqrt{(2x-25)^2-25^2}\end{align}$$Todos sabemos las penalidades que suponen resolver este tipo de integrales con la sustitución trigonométrica, mientras que con sustituciones de senos y cosenos hiperbólicos son mucho más sencilas. Te pregunto si tengo que usar la trigonométrica o puedo usar la hiperbólica.
No me especifican método para resolverlo
Pues si conoces las funciones hiperbólicas vamos con ellas
Shx es la que los anglosajones llaman sinh(x), el seno hiperbólico
Chx es cosh(x) para ellos y es el coseno hiperbólico.
La definición es esta:
$$\begin{align}&shx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\ &\\ &chx=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\end{align}$$De la definición se pueden deducir fácilemnte muchas propiedades, de momento citaré solo estas:
$$\begin{align}&ch^2x-sh^2x=1\\ &ch'(x) = shx\\ &sh'(x) = chx\end{align}$$Hay muchas formulas muy parecidas a las trigonométricas aunque no sean exactamente iguales.
Vamos con la integral:
$$\begin{align}&\frac 12\int \sqrt{(2x-25)^2-25^2}dx=\\ & \\ & 2x-25=25ch\,t\\ & \\ & 2dx=25sht\; dt\implies dx=\frac {25}2 sht \;dt\\ & \\ & =\frac 12·\frac {25}2 \int \sqrt{(25cht)^2-25^2}·sht\;dt=\\ & \\ & \frac {25}4\int25 \sqrt{ch^2t-1}·sht\;dt=\\ & \\ & \frac{625}{4}\int sht·sht\;dt=\\ & \\ & \frac{625}{4}\int sh^2t\;dt=\end{align}$$Y ahora deberíamos usar una fórmula conocida al igual que hacemos con el seno o el coseno al cuadrado. Pero voy a suponer que no la sabes y la deducimos
$$\begin{align}&sh^2t=\left(\frac{e^t-e^{-t}}{2} \right)^2=\frac{e^{2t}+e^{-2t}-2}{4}=\\ & \\ & \frac{\frac{e^{2t}+e^{-2t}}{2}-1}2{}=\frac{ch(2t)-1}{2}\\ & \\ & \text{y la integral que teníamos queda en}\\ & \\ & \frac{625}{4}\int \frac{ch(2t)-1}{2}dt=\\ & \\ & \frac{625}{4}\left(\frac{sh(2t)}{4}-\frac t2 \right)+C\end{align}$$Sigamos deduciendo fórmulas, se que así esto se está complicando bastante, pero si tuvieramos que deducir las trigonométricas correspondientes sería tanto o más difícil. Una vez conocidas ya se usan sin más.
$$\begin{align}&sh(2t) = \frac{e^{2t}-e^{-2t}}{2}= \frac{(e^t+e^{-t})(e^t-e^{-t})}{2}=\\ & \\ & 2·\frac{e^t+e^{-t}}{2}· \frac{e^t-e^{-t}}{2}=2cht·sht\\ & \\ & \text{Y con esto la integral queda}\\ & \\ & \frac{625}{4}\left(\frac{cht·sht}{2}-\frac t2 \right)+C=\\ & \\ & \frac{625}{8}(cht·sht - t)+C\\ & \\ & \text{el cambio fue}\\ & \\ &2x-25=25ch\,t\\ &\\ & luego\\ &\\ &cht=\frac{2x-25}{25}\\ &\\ &sht=\sqrt{ch^2t-1}=\sqrt{\frac{(2x-25)^2}{25^2}-1}=\\ &\\ &\frac{\sqrt{4x^2-100x}}{25}=\frac{2 \sqrt{x^2-25x}}{25}\\ &\\ &\text{Deshaciendo el cambio de variable}\\ &\\ &=\frac {625}8\left(\frac{2x-25}{25}·\frac{2 \sqrt{x^2-25x}}{25}-argch\left( \frac{2x-25}{25}\right)\right)+C=\\ &\\ &\frac{(2x-25)\sqrt{x^2-25x}}{4}-\frac{625}8argch\left( \frac{2x-25}{25}\right)+C\\ &\\ &\text{se podría dejar así, pero si quieres puedes demostrar que}\\ &\\ &argch(z)=ln(z+\sqrt{z^2-1})\\ &\\ &\frac{(2x-25)\sqrt{x^2-25x}}{4}-\frac{625}{8}ln\left(\frac{2x-25}{25}+\sqrt{\left(\frac{2x-25}{25} \right)^2-1} \right)+C=\\ &\\ &\frac{(2x-25)\sqrt{x^2-25x}}{4}-\frac{625}{8}ln\left(\frac{2x-25+2 \sqrt{x^2-25x}}{25} \right)+C=\\ &\\ &\frac{(2x-25)\sqrt{x^2-25x}}{4}-\frac{625}{8}ln\left(2x-25+2 \sqrt{x^2-25x} \right)-ln\,25+C=\\ &\\ &\text{ln 25 es una constante, va al contenedor C}\\ &\\ &=\frac{(2x-25)\sqrt{x^2-25x}}{4}-\frac{625}{8}ln\left(2x-25+2 \sqrt{x^2-25x} \right)+C\end{align}$$Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido y que tu ordenador y navegador pueden dejártelo ver, porque al final este ordenador ya no podía con este último bloque de fórmulas.
