Resolver por integración por partes
Tengo que integrar por el método de integración por partes
1) f(x)= (x2 - x)e-x
x2 es x elevado a la 2 y e-x es elevado y e es elevado a la -x
2) f(x) = x3 ex2
X3 es por elevado a la 3 y e es elevado a la por y por elevado a la 2
agradezco demasiado que me colaboren
1) f(x)= (x2 - x)e-x
x2 es x elevado a la 2 y e-x es elevado y e es elevado a la -x
2) f(x) = x3 ex2
X3 es por elevado a la 3 y e es elevado a la por y por elevado a la 2
agradezco demasiado que me colaboren
1 respuesta
Respuesta de Fran José García
1
Bueno para integrar por partes vamos a considerar las variables
u y dv
para elegir la "u" vamos a aplicar lo que podemos llamar la regla de los ALPES
A: Aquí significa todos los arcos, es decir, arcos, arcsen, arctg.
L: Logaritmos
P: Polinomios
E: Exponenciales
S: Y las funciones trigonométricas, Seno, coseno, etc.
Esto se utiliza para aplicar una preferencia para escoger la "u"
Entonces en el primer caso
¿?(x^2-x)e^(-x)dx cogemos
u = (x^2 - x) || du = (2x -1)dx
dv = e^(-x) || v = -e^(-x)
entonces la integral vendrá por
uv - ?vdu = -e^(-x)(x^2-x) + ?(2x-1)e^(-x)dx [1]
entonces
vamos a coger la otra intergral
?(2x-1)e^(-x)dx = ?2xe^(-x)dx - ?e^(-x)dx [2]
en la primer de esta integral aplicamos partes otra vez
u = 2x || du =2dx
dv = e^(-x)||v = -e^(-x)
entonces es integral es
-2xe^(-x) + ?2e^(-x)dx = -2xe^(-x) - 2e^(-x)[3]
y la segunda integral de [2] es -e^(-x)
entonces si sumamos [1] + [2] + [3], nos queda
-e^(-x)(x^2-x)-2xe^(-x) - 2e^(-x)+e^(-x)
Bueno si agrupas términos queda -e^(-x) (x^2 +x+1)
Te pongo la segunda integral a parte.
u y dv
para elegir la "u" vamos a aplicar lo que podemos llamar la regla de los ALPES
A: Aquí significa todos los arcos, es decir, arcos, arcsen, arctg.
L: Logaritmos
P: Polinomios
E: Exponenciales
S: Y las funciones trigonométricas, Seno, coseno, etc.
Esto se utiliza para aplicar una preferencia para escoger la "u"
Entonces en el primer caso
¿?(x^2-x)e^(-x)dx cogemos
u = (x^2 - x) || du = (2x -1)dx
dv = e^(-x) || v = -e^(-x)
entonces la integral vendrá por
uv - ?vdu = -e^(-x)(x^2-x) + ?(2x-1)e^(-x)dx [1]
entonces
vamos a coger la otra intergral
?(2x-1)e^(-x)dx = ?2xe^(-x)dx - ?e^(-x)dx [2]
en la primer de esta integral aplicamos partes otra vez
u = 2x || du =2dx
dv = e^(-x)||v = -e^(-x)
entonces es integral es
-2xe^(-x) + ?2e^(-x)dx = -2xe^(-x) - 2e^(-x)[3]
y la segunda integral de [2] es -e^(-x)
entonces si sumamos [1] + [2] + [3], nos queda
-e^(-x)(x^2-x)-2xe^(-x) - 2e^(-x)+e^(-x)
Bueno si agrupas términos queda -e^(-x) (x^2 +x+1)
Te pongo la segunda integral a parte.
La segunda resolverla por partes es un camino muy difícil porque si consideramos com
dv = e^(x^2)
No vamos a poder calcular la integral de e^(x^2), porque no existe una expresión explícita.
Y si consideras u =e^(x^2) entonces du va aumentando de grado y por lo tanto la solución se va complicando. Para resolverlo primero vamos a aplicar sustitución
considerando
u = x^2 entonces du = 2x
la función la podemos expresar como
x^2xe^(x^2) entonces
la integral queda como
(1/2)ue^udu = (1/2)(u-1)e^u
Esa integral se hace por partes, pero a te lo he resuelto en alguno de los otros ejercicios de antes, si deshacemos el cambio nos queda
(1/2)e^(x^2)(x^2-1)
dv = e^(x^2)
No vamos a poder calcular la integral de e^(x^2), porque no existe una expresión explícita.
Y si consideras u =e^(x^2) entonces du va aumentando de grado y por lo tanto la solución se va complicando. Para resolverlo primero vamos a aplicar sustitución
considerando
u = x^2 entonces du = 2x
la función la podemos expresar como
x^2xe^(x^2) entonces
la integral queda como
(1/2)ue^udu = (1/2)(u-1)e^u
Esa integral se hace por partes, pero a te lo he resuelto en alguno de los otros ejercicios de antes, si deshacemos el cambio nos queda
(1/2)e^(x^2)(x^2-1)
