Martingalas adecuadas y el teorema de Dobb’s
Buenas tardes experto, tengo este problema que no logro comprender y ojala me pueda ayudar. Saludos experto.
Iniciando en el valor cero, la fortuna de un inversionista crece semanalmente a razón de $200 con una probabilidad de 3/8, permanece constante con una probabilidad de 3/8 y decrece a razón de $200 con una probabilidad de 2/8. Los incrementos semanales de la fortuna del inversionista son independientes. El inversionista detiene el “juego” en el momento que su fortuna llega a $ 2,000 o su pérdida llega a $1,000, lo que ocurra primero.
Utilizando martingalas adecuadas (suitable martingales) y aplicando el teorema de Dobb’s (Optional stopping theorem), determine
1. La probabilidad P_2000 de que el inversionista termine el “juego” con una ganancia de $ 2,000
2. La probabilidad P_-1000 de que el inversionista termine el “juego” con una pérdida de $ 1,000
3. La duración media del “juego E(N)
Muchas gracias de antemano. Saludos valesoasm
1 respuesta
No conozco la teoría de Martingalas. Pero ha habido muchas cosas que sin conocerlas las he aprendido y he respondido después muchas preguntas. Pero para resolver los problemas que mandas relativamente pronto sin perderme en búsquedas inútiles en muchos casos lo mejor es que me mandes la teoría que estás estudiando y de la cual han salido los problemas eso es mucho mejor que cualquier otro libro que pueda buscar por bueno q
Por bueno que sea. Se envió sola la contestación por pulsar el tabulador junto con la letra q y la página no me dejaba volver atrás.
Pues eso que si puedes mándame la teoría, creo que debes estudiar en la universidad abierta y a distancia de México, de ahí algunos me mandan unas unidades que me sirven mucho, mándame tú las correspondientes a este tema.
Mi correo es [email protected]
Envié la teoría a su correo de gmail. Gracias de antemano. Saludos experto.
¡Lo siento Just1976!
He leído la teoría pero es abstacta, abstracta, hecha para catedráticos, me falta mucha base para entenderla, incluso la mitad de la notación no la entiendo. Y lejos de hacer instructivo el libro poniendo algún ejemplo se empeñan en la teoría y nada más. Además que debe ser algo propio de la enseñanza de esa materia porque lo que he mirado en otros sitios es similar de pesado. No puedo dedicarle el tiempo que necesitaría para entenderlo si es que lo llegara a entender. De todas formas mándame la teoría que te pedí puede que algún año le pueda dedicar más esfuerzos.
Yo he hecho algo que se me da mejor en estos casos que es hacer simulación por ordenador para dar una aproximación a la respuesta.
Este es el programa hecho en Pascal con Lazarus
program Project1;
{$mode objfpc}{$H+}
uses
{$IFDEF UNIX}{$IFDEF UseCThreads}
cthreads,
{$ENDIF}{$ENDIF}
Classes
{ you can add units after this };
var
i,j,totalgana, totalpierde,juegos,x,ran:integer;
semanas:int64;
begin
randomize;
juegos:=100000000;
totalgana:=0;totalpierde:=0;semanas:=0;
for i:=1 to juegos do
begin
x:=0;
repeat
ran := random(8);
if ran <= 2 then
inc(x,1)
else if ran <=4 then
dec(x,1);
inc(semanas,1);
until (x=-5) or (x=10);
if x=-5 then inc(totalpierde,1) else inc(totalgana,1);
end;
writeln('Jugadas : ',juegos);
writeln('Ganadas: ',totalgana,' ', totalgana/juegos:10:8);
writeln('Perdidas: ',totalpierde,' ', totalpierde/juegos:10:8);
writeln('Promedio de semanas ', semanas/juegos:10:8);
readln;
end.Y este ha sido el resultado
Jugadas : 100000000 Ganadas: 87030710 0.87030710 Perdidas: 12969290 0.12969290 Promedio de semanas 64.42764853
Ya sé que no sirve de mucho pero si pudieras resolverlo por teoría no tendria que darte cifras de probabiladad y semanas muy distintas de esas.
Y eso es todo.
En esta página he encontrado el problema de la ruina del jugador que sirve para este. Está en la página número 10.
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ezuazua/informweb/trabajosdehistoria/salinero_probabilidad.pdf
Como ya hice en el programa, he dividido por 200 lo que gana o pierde, asi gana o pierde 1 dolar cada semana y los limites son perder 5 o ganar 10
Sea p la probabilidad de dar un movimiento positivo y q la de uno negativo, la de quedarse igual no nos interesa de momento, entonces será
p = 3/5
q = 2/5
y de acuerdo con la fórmula de la página
$$\begin{align}&P(ganar)=\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^5-1}{\left(\frac{2}{3}\right)^{15}-1}=\\ &\\ &\frac{\frac{2^5-3^5}{3^5}}{\frac{2^{15}-3^{15}}{3^{15}}}=\frac{(2^5-3^5)3^{15}}{(2^{15}-3^{15})3^{5}}=\\ &\\ &\frac{(2^5-3^5)3^{10}}{2^{15}-3^{15}}= \frac{-12459339}{-14316139}=0.8703002255\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Y la probabiolidad de perder también tiene su fórmula pero es más facíl calcularle restando de 1
P(perder) = 1 -0.8703002255 = 0.1296997745
Coincide hasta en 5 decimales con la simulación del ordenador, no pensaba que fuera tan buena.
Y respecto a la media la página dice que calculo sería
E(N) = [b·P(ganar) - a·P(perder)]/(p-q)
Recordemos que a es el dinero con el que juega el juador a y b el que tiene en jugador B. En este caso a es 5 ya que cuando pierde 5 se retira y b es 10 ya que tiene que ganar 10 veces para arruinar al jugador b
E(N) = (10 · 0.8703002255 - 5· 0.1296997745) / (3/5 - 2/5) =
8.054503383 / 0.2 = 40.27251691
Pero en este caso hay semanas donde no se gana ni se pierde, concretamente hay 5 semanas con movimiento por cada 8, tendremos que multiplicar lo obtenido por 8/5 para que se tengan en cuenta las semanas sin movimiento
E(N) = 40.27251691 · 8/5 = 64.43602706
Esta vez no hubo tantos decimales acertados pero está bastante aproximado de todas formas.
Luego con la corroboración del ordenador no queda otro remedio que dar por válidos estos datos que he calculado. Pero de verdad te digo que con la teoría del libro creo que no lo habría resuelto nunca.
Y eso es todo.
