Problema con el proceso de Poisson 2
Tengo este problema experto,
Suponga que la llegada de vacacionistas a Acapulco se puede modelar mediante un proceso Poisson con tasa λ = 250 por semana. Si el número de personas en cada grupo de vacacionista es independiente del tamaño de las otros vacacionistas y toma los valores 1, 2, 3, 4, 5, 6 con probabilidades 1/12, 1/12, 2/6, 2/6, 1/12, 1/12 respectivamente.
a. Calcular el número esperado de individuos que llegan a Acapulco durante un periodo de un mes (4 semanas).
b. Obtener la varianza del número de personas que visitan Acapulco en 4 semanas.
1 Respuesta
Si ya vi que esta confuso, aunque creo que usted tiene razón. Así que si utilice 250 grupos de personas. Gracias de antemano experto. Saludos.
Si, voy a suponer que son 250 grupos ya que si no no hace falta el enunciado posterior.
Primero calculamos el número de grupos que se esperan en 4 semanas. La tasa es la media del número de grupos que se espera por semana. Es bastante claro, si en una semana se esperan 250 grupos en un mes(4 semanas) se esperan 250·4 = 1000 grupos.
Y ahora hallemos la media de cada grupo, es la suma de las personas por su probabilidad
1·1/12 + 2·1/12 + 3·2/6 + 4·2/6 + 5·1/12 + 6·1/12=
1/12 + 2/12 + 6/6 + 8/6 + 5/12 + 6/12 =
14/12 + 14/6 = (14+28)/12 = 42/12 = 7/2 = 3.5 personas
Y como son 1000 grupos se espera que haya
1000 · 3.5 = 3500 personas cada mes.
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Es un proceso de Poisson compuesto, será la suma hasta el valor n que tome la Poisson de n variables aleatorias que son las personas de cada grupo. Yo no le he estudiado esto luego tomo la fórmula de un libro, supongo que en el tuyo también saldrá
$$\begin{align}&V(X_t) = \lambda t e(Y^2)\end{align}$$donde V es la varianza
Xt es el proceso de Poisson
Lambda es el parámetro del proceso
T es el tiempo
E es la esperanza
Y es la variable que se compone con el proceso de Poisson
En este caso lambda=250 es el parametro es semanal y vamos calcular en un mes luego t=4
Calculemos la esperanza de Y^2
1^2·1/12 + 2^2·1/12 + 3^2·2/6 + 4^2·2/6 + 5^2·1/12+ 6^2·1/12 =
1/12 + 4/12 + 18/6 + 32/6 + 25/12 + 36/12 =
66/12 + 50/6 = (66+100)/12 = 166/12 = 83/12
Y aplicando la fórmula
V(Xt) = 250 · 4 · 83/12 = 83000/12 = 6916.666... personas^2
Y eso es todo.
Muchas gracias experto, me parece excelente el desarrollo y la explicación. Saludos
Quedó mal la fórmula, no me di cuenta que la e estaba en minúscula.
$$\begin{align}&V(X_t) = \lambda\, t\, E(Y^2)\end{align}$$Ahora ya se entiende mejor que es la esperanza de Y^2.
