Calcular el valor de la integral
Resuelve la siguiente integral usando el teorema de Cauchy-Goursat
$$\begin{align}&∮_σdz/(z^2+9)\end{align}$$Sobre la curva:
$$\begin{align}&σ=|z-i|=3\end{align}$$
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Amo Mo!
Para poder usar el teorema debemos dejar el integrando en la forma
f(z) / (z-zo)
$$\begin{align}&\oint_{\sigma}\frac{dz}{z^2+9}= \oint_{\sigma}\frac{dz}{(z+3i)(z-3i)}=\\ & \\ & \oint_{\sigma}\frac{\frac{1}{(z+3i)}}{(z-3i)} dz\end{align}$$La curva sigma es una circunferencia centrada en el punto p=i con radio 3. En el plano complejo es una circunferencia con radio 3 centrada en (0,1)
El punto zo=3i en coordenadas es (0,3) que es interior a la circunferencia sigma.
O si no lo hacemos con gráfica sino analíticamente tendremos
|zo-i| = |3i -i| = |2i| = 2 < 3
Luego es interior a la circunferencia. Y se cumplen las condiciones del teorema integral de Cauchy que dice
$$\begin{align}&\oint_{\sigma}\frac{f(z)}{z-z_0}dz = 2\pi if(z_0)\\ & \\ & luego\\ &\\ & \oint_{\sigma}\frac{\frac{1}{(z+3i)}}{(z-3i)} dz = 2\pi i \frac{1}{3i+3i}=\\ &\\ &2\pi \frac{i}{6i}=2\pi \frac 16 = \frac{\pi}{3}\end{align}$$Y eso es todo.
