Como resolver estos polinomios
$$\begin{align}&\\ &\\ &\\ &P(x) = x^10 - 5x^5 + 4\\ &\\ &P(x) = x^4 + 2x^2 + 1 \end{align}$$Bueno , son estos dos ejercicios , en el primero es x elevado a la 10 por si no se entiendo, yo creo que se hacerlos pero de una forma que no es la mejor, por ejemplo en el de x elevado a la 10 lo que hago es por Gauss llegar a que una raiz es 1 , con eso lo que hago es hacer rufini y empezar a reducir el polinomio, pero de esta forma voy a estar mucho tiempo haciendo ruffini , por eso creo que lo estoy haciendo mal ,seguro hay una forma mas eficiente , bueno , espero que me puedan ayudar . Saludos gente :D
1 respuesta
Gera Gorgoretti!
Responderé primero la segunda que es muy fácil
Si te fijas es un cuadrado perfecto
x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2
luego te queda
(x^2 + 1)^2 = 0
x^2 + 1 = 0
x^2 = -1
x = +- sqrt(-1)
Y esto no tiene raíces reales, pero si puedes usar raíces complejas las tiene
x = i
x =-i
como x^2+1 estaba elevado al cuadrado se repiten dos veces la raíces
x=i
x=-i
x=i
x=-i
Y la factorización en los complejos sería
P(x) = (x-i)(x+i)(x-i)(x+i) = (x-i)^2·(x+i)^2
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Para resolver la segunda piensa en el truco que se usa para resolver las ecuaciones bicuadradas.
Si llamas
y=x^5
tendrás
y^2 = y^10
con lo cual la ecuación te quedaría
y^2 - 5y + 4 = 0
Lo cual ya es mucho más sencillo de resolver por Ruffini, opor la fórmula de la ecuación de segundo grado, o por consideraciones sobre el producto y suma de las raíces o visión de los factores que multiplicados dan eso.
Yo lo hago por eso último, veo claro que los factores son
y^2 - 5y + 4 = (y-4)(y-1)
luego las soluciones de la ecuación en y son
y=4
y=1
Y ahora para calcular x debemos extraer la raíz quinta ya que y=x^5
x = 4^(1/5) = 1.319507911
x = 1
Esas son las dos raíces reales, pero existen 8 más complejas que no voy a calcular a menos que me lo digas, porque no sé cuál es la teoria que estás dando, si es matemática real o compleja.
Gracias por todo :D, lo que estoy viendo ahora es matemática compleja, la verdad que si era fácil el segundo, pero no lo supe ver, si lo de las 8 raíces que quedan es muy largo no te hagas drama y solo por que método lo harías :D.
Saludos y muchas gracias
No hay otro método aceptable para calcular las raices tercera y superiores que pasar el número complejo a forma polar (o exponencial si también estás dando esa forma)
No lo hice porque el enunciado no era muy explícito. Este problema tiene una solución para estudiantes de primaria, otra para los de secundaria e incluso otra para los universitarios y yo no sabía con cuál quedarme.
Si quieres que calcule las raíces quintas podrías mandármelo en otra pregunta por favor, cuantas más preguntas es mejor para los expertos.
