Demostración de un lema para demostrar un teorema

a)

Lema

Tendremos

$$\begin{align}&x^{2n}=y^{2n}\\ &\\ &(x^n)^2=(y^n)^2\end{align}$$

conocemos que dos números elevados al cuadrado dan el mismo resultado si son el mismo u opuestos, luego

$$\begin{align}&x^n=y^n\quad ó\quad x^n=-y^n\\ &\\ &\end{align}$$

Si n es par lo segundo no puede darse pero podemos descomponer lo primero.  Así si n=2m hacemos lo mismo de antes y tendremos:

$$\begin{align}&x^m=y^m \quad ó\quad x^m=-y^m \end{align}$$

Una vez hayamos hecho esta operación tantas veces como el exponente del factor primo 2 llegaremos a

$$\begin{align}&x^m = y^m\quad ó\quad x^m=-y^m\\ & \\ & \text{con m impar}\\ & \\ & \text{entonces podemos poner}\\ & \\ & x^m = y^m\quad ó\quad x^m=(-y)^m\\ & \\ & \text{calculamos la raíz m siendo m impar que es única}\\ & \\ & \sqrt[m]{x^m}=\sqrt[m]{x^m}\quad ó\quad \sqrt[m]{x^m}=\sqrt[m]{(-y)^m}\\ & \\ & x=y \quad ó \quad x=-y\end{align}$$

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b)

Teorema

Ya lo hemos demostrado para los exponentes pares. Y para los impares ya dije en ese apartado que la raíz es única luego si n es impar entonces

x^n=y^n ==> x=y

Asi que para un n cualquiera se cumplirá

x=y  ó  x=-y

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c)

Corolario

Está ya demostrado en el primer apartado.

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La verdad es que les he fastidiado el plan porque para demostrar el lema he demostrado el corolario, pero es que yo no encuentro otra forma de demostrar el lema, yo habría colocado en otro orden lo que es el lema, terorema y corolario.

Y eso es todo.