Linearmente independiente o linearmente dependiente

Si no me lo has mandado tu antes eres la tercera persona que me manda este ejercicio en poco tiempo, supongo que estudiáis en el mismo sitio y tenéis el mismo facilitador.

El enunciado tiene una notación que yo diría que más que discutible es incluso errónea.

Todos hemos hecho este ejercicio y el enunciado sería este.

Sea X un espacio vectorial y sea C = {h1, h2, h3} un conjunto de vectores de X linealmente independiente.  Demostrar que el conjunto Y = { h1+h2, h2+h3, h1+h3} es un conjunto linealmente independiiente.

Ese es el enunciado de este problema clásico.  Lo que pone de X={h1+h2+h3} parece sacado de otro problema.

La resolución del problema clasíco es, tomamos una combinación lineal de los elementos de Y igualada a cero

c1(h1+h2) + c2(h2+h3) + c3(h1+h3) = 0

(c1+c3)h1 + (c1+c2)h2 + (c2+c3)h3 = 0

como {h1, h2, h3} es un conjunto linealmente independiente los coeficientes son 0

c1+c3 = c1+c2 = c2+c3 = 0

Y no cuesta nada resolver el sistema

c1 + c2        = 0

       c2 + c3 = 0

c1 +       c3  = 0

y ver que las respuestas son

c1=c2=c3=0

con lo cual el conjunto Y = { h1+h2, h2+h3, h1+h3} es linealmente independiente.

Ese es el problema de todo la vida.

------------------------------------

Ahora voy a ver que se puede hacer si tomo el enunciado al pie de la letra, pero ya te digo que no va a ser posible demostrar que Y es independiente.

Si el conjunto X = {h1+h2+h3} es linealmente independiente simplemente sabemos que es un vector distinto de 0

Tomemos R3 y estos vectores

h1 = (0,0,0)

h2 = (0,0,0)

h3 = (1,0,0)

X = {(0,0,0)+(0,0,0)+(1,0,0)} ={(1,0,0)}

El conjunto X es linealmente independiente ya que es un vector distinto de 0

Pero el conjunto Y va a ser

Y ={(0,0,0)+(0,0,0),  (0,0,0)+(0,0,1), (0,0,0)+(0,0,1) }= {(0,0,0), (0,0,1), (0,0,1)}

Y esto es lo menos parecido a un conjunto linealmente independiente ya que tiene el vector nulo y dos repetidos, de los tres solo vale 1.

Luego lo que piden demostrar es falso.

-------------------

La única solución para que se cumpla el enunciado es que sea un conjunto linealmente independiente este {h1, h2, h3}, el que lo sea {h1+h2+h3} no garantiza nada.

Y eso es todo, o al que ha hecho el problema se le ha ido la olla o no sabe expresar el enunciado.

En efecto estudio en el mismo sitio y mismo docente

El problema clásico no es el caso

Dice el docente dice que debe ser al pie del cañón como dice el enunciado AUNQUE no se cumpla su independencia lineal entonces debe decir entonces su cumplimiento de dependencia lineal debe mencionar las razones de esta demostración

Hay otra forma de demostrarlo que sea formalmente dice el docente que debo de probarlo de otra manera a parte de esa de la que mencionas

de favor necesito el apoyo para que me quede bien claro para el examen

Gracias y saludos

te doy el enunciado corregido por el docente aunque lo quiere al pie del cañón

Si, pues la respuesta es que es falso.

Y es falso porque he encontrado un contraejemplo, no se puede pedir más. El mundo de las matématicas esta lleno de demostraciones por contraejemplo y algunas que no se han podido demostrar de otra forma. Si a él se le ocurrido otra forma de demostrarlo allá él, yo no tengo porque adivinar sus pensamientos ni sus gustos, lo mismo que él tampoco tiene porque adivinar los míos.

¡Gracias! 

Por si te sirve te mando dos contraejemplos más a nivel más teórico

1) Si los tres vectores son iguales y distintos de 0

h1=h2=h3

entonces

h1+h2+h3 = 3h1 que como h1 es distinto de cero entonces

X={h1+h2+h3} es linealmente independiente

pero el conjunto Y será

Y={h1+h2, h2+h3, h1+h3] = {2h1, 2h1, 2h1}

Los tres son iguales luego no son dependientes.

Y dentro un rato te mando otro con vectores distintos todos ellos.