Ayuda con aniquilador ecuaciones diferenciales
Hola, un saludo a todos, tengo una duda respecto a esta ecuación diferencial y su aniquilador:
$$\begin{align}&y''-2y'-3y=(\cos(2x))^2+(sen(x/2))^2\end{align}$$mi duda es que si puedo usar la propiedad sel seno cuadrado y coseno cuadrado para quitar ese cuadrado y ya sacar el aniquilador, que yo lo obtuve así:
$$\begin{align}&D(D^2+16)(D^2+1)(D^2-2D-3)\end{align}$$eso es lo que obtuve al aplicar las propiedades de:
$$\begin{align}&sen^2(u)=1/2-1/2cos(2u)\\ &\cos^2(u)=1/2+1/2cos(2u)\end{align}$$quisiera saber si lo que hice esta correcto :(
1 Respuesta
Si, es correcto. Puedes hacer todos los cambios de funciones por otras iguales que quieras. Y si no estás seguro puedes hacer la prueba
$$\begin{align}&(\cos^22x)' = -4cos 2x·sen2x\\ &(\cos^22x)'' = -4(-2sen2x·sen2x+2cos2x·cos2x)=\\ &8sen^22x-8cos^22x\\ &\\ &D(D^2+16)(\cos^22x)=\\ &D(8sen^22x-8cos^2x+16cos^22x)=\\ &D(8sen^22x+8cos^2x)=\\ &D(8) = 0\\ &\\ &\end{align}$$Y puedes comprobar que D(D^2+1)[sen^2(x/2)] también es 0.
Con lo cual
D(D^2 + 16)(D^2 +1) anula a cos^2(2x) + sen^2(x/2)
Y con el añadido del factor (D^2 - 2D - 3) anula los dos lados de la ecuación diferencial.
muchas gracias, si lo entendí, es que estoy resolviendo una serie y me salieron esas trigonométricas al cuadrado y no estaba segura si si podía aplicar eso; de nuevo gracias :D
