Estadística matemática con aplicaciones VA continuas
Buenas tardes, ¿podrían ayudarme con este por favor?
13. La dureza Rockwell (en escala continua) de un metal se determina al golpear con un punto acerado (herramienta) la superficie del metal y después medir la profundidad de penetración del punto. Suponga que la dureza Rockwell de cierta aleación está normalmente distribuida con media de 70 y desviación estándar de 3. A) Si un espécimen es aceptable sólo si su dureza está entre 67 y 75, ¿cuál es la probabilidad de que un espécimen seleccionado al azar tenga dureza aceptable? B) Si la escala aceptable es como en a) y la dureza de cada diez especímenes seleccionados al azar se determina independientemente, ¿cuál es el número esperado (medio) de especímenes aceptables entre los diez? C) ¿Cuál es la probabilidad de que a los sumo ocho de diez especímenes seleccionados independientemente tengan una dureza menor de 73.84? D) Si la escala aceptable de dureza es (70 - C, 70 + C), ¿para qué valor de C tendría una dureza aceptable el 95% de todos los especímenes?
1 Respuesta
Juan Pablo!
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La distribución de probabilidad es una N(70, 3).
Para hacer cálculos la tipificamos restándole 70 y dividiendo entre 3
Z = (X-70)/3 ~ N(0,1)
a)
P(67<X<75) = P((67-70)/3 < Z < (75-70)/3) =
P(-1 < Z < 1.6666...) = P(Z < 1.6666...) - P(Z < -1) =
por simetría respecto a Z=0
P(Z<1.6666...) - 1 + P(Z<1) =
·
Tabla(1.66) = 0.9515
Tabla(1.67) = 0.9525
Prob(Z< 1.6666...) = 0.9515 + 0.6666..·0.0010 = 0.9521666
·
= 0.9521666 - 1 + 0.8413 = 0.7934666
·
b)
Será 10 multiplicado por la probabilidad
10 · 0.7934666 = 7.934666
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c)
Primero calculamos la probabilidad de que uno tenga dureza inferior a 73.84
P(X<73.84) = P[Z <(73.84-70)/3] =
P(Z<1.28) = 0.8997
Mejor calculamos la probabilidad complementaria y luego la restamos de 1. Usaremos la fórmula de la probabilidad binomial
P(9) = C(10,9) · (0.8997)^9 · (1-0.8997) = 10 · (0.8997)^9 · 0.1003 = 0.3874185553
P(10) = C(10,10) · (0.8997)^10 · (1-0.8997)^0 = (0.8997)^10 = 0.3475179205
P(>8) = 0.3874185553 + 0.3475179205 = 0.7349364758
P(<=8) = 1 - 0.7349364758 = 0.2650635242
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d)
Calculamos el valor que deja a su derecha una probabilidad del 2.5%, por simetría a la izquierda del valor en negativo quedará 2.5% también y en medio habrá un 95%
Todo esto en tantos por 1 es buscar el valor Z que a la derecha deja 0.025, luego a la izquierda deja 0.9750
Es un valor muy conocido, lo buscamos en la tabla y es Z=1.96,
Es decir entre -1.96 y 1.96 la N(0,1) tiene probabilidad 0.95
Como la tipificación es
Z=(X-70)/3
3Z = X-70
X = 70 + 3Z
El valor izquierdo de X será 70 - 3Z y el derecho 70 + 3Z
Luego 3Z es esa C a la que se refiere el enunciado
C = 3 · 1.96 = 5.88
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