Demostración matemática sobre independencia lineal
- Demuestra por qué la siguiente aseveración es cierta, o por qué es falsa:
x={h_1+h_2+h_3} x es un espacio vectorial y h_1,h_2,h_3 son sus vectores.
Se hace la siguiente afirmación: Si x={h_1+h_2+h_3} es un conjunto linealmente independiente Entonces: {h_1+h_2, h_2+h_3, h_1 +h_3} es un conjunto linealmente independiente.
Entonces yo digo que:
Se dice que un conjunto indexado de vectores [ V_1...,V_p] en R^n es linealmente independiente si la ecuación vectorial.
x_1 v_1+ x_2 v_2+ …+ x_P v_P=0
Donde
x_1 = x_2 = x_3=0
Ahora dado que el producto por una constante no nula en una lista de vectores linealmente independientes la multiplicamos por una constante no nula, la lista resultante sigue siendo linealmente independiente.
Si suponemos que el siguiente conjunto es también linealmente independiente:
{h_1+h_2, h_2+h_3, h_1 +h_3}
Si es linealmente independiente en los siguientes vectores:
{(h_1 ,h_2 ,h_3 ),(h_2 ,h_3 ,h_3 ) }
a_1 (h_1 ,h_2 ,h_3 )+a_2 (h_2 ,h_3 ,h_3 )=(0,0,0)
(a_1 h_1 ,a_1 h_2 ,a_1 h_3 )+(a_2 h_2 ,a_2 h_3 ,a_2 h_3 )=(0,0,0)
(a_1 h_1+a_2 h_2,a_1 h_2+a_2 h_3,a_1 h_3+a_2 h_3 )=(0,0,0)
Entonces tendremos a tres ecuaciones lineales:
a_1 h_1+a_2 h_2=0 (1)
a_1 h_2+a_2 h_3=0 (2)
a_1 h_3+a_2 h_3=0 (3)
Efectuamos la resta de la ecuación 2 a la ecuación 3:
a_1 h_2+ a_2 h_3=0 ec.2
-(a_1 h_3+a_2 h_3=0) ) ec.3
___________________________
a_1 h_2-a_1 h_3=0
Por lo que:
a_1 (h_2-h_3 )=0
a_1=0/(h_2-h_3 )
a_1=0
Sustituyendo s en ( 1),tenemos:
(0)h_1+a_2 h_2=0
a_2=0/h_2
a_2=0
Por lo tanto:
a_1=a_2=0
Entonces concluimos que:
{ h_1 + h_2 ,h_2+h_3 ,h_1 + h_3 } es un conjunto linealmente independiente.
Y la maestra me dice que estoy mal que por que no puedo separar la suma, que porque estaría escribiendo una combinación de vectores distintos a los que se solicitan, y que de la igualdad resultante debo comparar con la combinación lineal del único elemento que tiene el otro conjunto... Pero no entiendo, me puedes ayudar?
A lo mejor es que tengo mal toda la demostración.
1 Respuesta
Este es un problema clásico que me han preguntado varias veces y que al principio no contestaba bien porque me empeñaba en que el enunciado era incorrecto
Si x={h_1+h_2+h_3} es un conjunto linealmente independiente
¿Pero qué es x?
X es un conjunto de un solo elemento. Ese elemento es la suma de tres vectores, pero es un vector único.
Luego x será linealmente independiente siempre que no sea el vector nulo. Y de que la suma de tres vectores no sea el vector nulo no se puede deducir tanto como nos dicen. Para demostrar que es falso puedes tomar cualquiera de estos dos contraejemplos
1)
h1=h2=h3=(1,0,0)
h1+h2+h3 = (3,0,0) es independiente
h1+h2 = (2,0,0)
h2+h3 = (2,0,0)
h1+h2 = (2,0,0)
los tres vectores son el mismo, luego no son independientes:
2)
h1=(1,0,0)
h2=(-1,0,0)
h3=(3,2,1)
h1+h2+h3 = h3 = (3,2,1) es independiente
h1+h2 = 0
Ya no hace falta calcular más el conjunto no puede ser independiente ya que tiene el vector nulo
·
Y eso es todo.
