Hola quisiera saber si me puedes ayudar con un problema de álgebra moderna por favor, se trata de Si G es el grupo de simetras
Si G es el grupo de simetras del cuadrado. >¿Es G es abeliano? >¿Cual es su
orden? Lista todos los subgrupos de G.
1 Respuesta
MIguel Rodriguez!
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El grupo de simetrías del cuadrado se compone de 4 giros, uno de ellos de 0 grados que es el elemento neutro y 4 reflexiones sobre los dos ejes y las dos diagonales.
Luego tiene orden 8.
Y no es abeliano vamos a comprobarlo:
Supongamos los vértices del cuadrado numerados así
1 2
4 3
los elementos son
G={ (), (1,2,3,4), (1,3)(2,4), (1,4,3,2), (1,2)(3,4), (1,4)(2,3), (2,4), (1,3)}
tomemos un giro y una reflexión
(1,2,3,4) · (1,2)(3,4) = (2,4)
(1,2)(3,4) · (1,2,3,4) = (1,3)
Luego no es conmutativa.
Y los subgrupos son:
El neutro y el total como grupos impropios.
El de los 4 giros: { (), (1,2,3,4), (1,3)(2,4), (1,4,3,2)}
El del giro de 180º: { (), (1,3)(2,4)}
Las cuatro simetrías:
S1 = {(), (1,2)(3,4)}
S2 = {(), (1,4)(2,3)}
S3 = {(), (2,4)}
S4 = {(), (1,3)}
Los generados por 2 simetrías y el giro de 180
S34 = { (), (1,3), (2,4), (1,3)(2,4)}
S12 = { (), (1,2)(3,4), (1,4)(2,3), (1,3)(2,4)}
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Y yo creo que esos son todos. Espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien, no olvides puntuar.
Espera, que no se me ocurrió mezclar simetrías axiales con diagonales
S13= {(), (1,2)(3,4), (2,4), (1,4,3,2), ....}
Sale el grupo completo porque hemos llegado a un giro no de 180º, entonces entran otros dos giros más generados por el y ya nos metemos en 6 y no puede haber un subgrupo de 6 o 7 elementos porque no dividen a 8, tienen que ser 8
Me parece que todas estas mezclas van a dar el grupo completo
S14= {(), (1,2)(3,4), (1,3), (1,2,3,4), ....} lo mismo, sale el total
S23= {(), (1,4)(2,3), (2,4), (1,2,3,4), ....} es el grupo completo
S24= {(), (1,4)(2,3), (1,3), (1,4,3,2), ....} grupo completo
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Luego no hay otros grupos que los que te había dado en la primera respuesta.
