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Hay un límite notable que suele usarse para resolver muchos limites trigonométricos y es este
$$\begin{align}&\lim_{x\to 0}\frac{senx}{x}=1\\ &\\ &\lim_{x\to 0}\frac{x}{senx}=1\\ &\\ &\lim_{f(x)\to0}\frac{f(x)}{sen (f(x))}=1\end{align}$$
Con esto y la fórmula
sen(a+b) = sena·cosb +cosa·senb
Se puede resolver aunque sea más difícil con la regla de l'Hôpital. Pero es que muchas veces piden calcular los límites sin usar esa regla, por eso te explico cómo se calcula.
$$\begin{align}&\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{sen\pi x}=\\ &\\ &\lim_{x\to 3}\frac{\pi(x-3)}{\pi sen\pi x}=\\ &\\ &\text {hacemos el cambio de variable }y=x-3\\ &x\to 3\implies y\to0\implies \pi y \to 0\\ &\\ &=\lim_{\pi y\to 0} \frac{\pi y}{\pi sen(\pi(y+3)}=\\ &\\ &\lim_{\pi y\to 0} \frac{\pi y}{\pi sen(\pi y+3\pi)}=\\ &\\ &\lim_{\pi y\to 0} \frac{\pi y}{\pi [sen(\pi y)\cos(3\pi)+\cos(\pi y)sen(3\pi)]}=\\ &\\ &\lim_{\pi y\to 0} \frac{\pi y}{\pi [sen(\pi y)(-1)+\cos(\pi y)·0]}=\\ &\\ &-\frac 1{\pi}·\lim_{\pi y\to 0} \frac{\pi y}{sen \pi y }=-\frac 1{\pi}·1=-\frac{1}{\pi}\\ &\end{align}$$
Y eso es todo, espro que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien, no olvides valorar.