Producto de dos números invertidos

Lucas mmm!

·

(xyzt)·(tzyx) =

a partir de aquí dejan de ser numerales, xy, zt, etc serán productos

(1000x+100y + 10z + t) ·(1000t + 100z + 10y +x) =

1000000xt + 100000(xz+yt) + 10000(xy+yz+zt) + 1000(x^2+y^2+z^2+t^2) + 100(yx+zy+tz) + 10(zx+ty) + tx=

1000001xt + 100010(zx+yt) + 10100(xy+yz+zt) + 1000 (x^2+y^2+z^2+t^2)

Tx debe terminar en 8, podría ser 8, 18, 28, etc

Pero por las dos primeras cifras no puede ser mayor que 27 luego deber ser 8 ó 18.

Además hagamos t<x, entonces t·x es

1·8

2·4

2·9

3·6

El máximo valor que puede tomar xz+yt es 9·8+6·3= 90

Si xt fuera 8 la suma casi máxima sería

8000008 + 90·100010 = 17000908

bastante alejada de 27014218, luego xt debe ser 18 y hay estas dos posibilidades

x=2 y t=9

x=3 y t=6

Ahora quedará:

100010(zx+yt) + 10100(xy+yz+zt) + 1000 (x^2+y^2+z^2+t^2) =

27014218 - 18·1000001 = 9014200

10001(zx+yt) + 1010(xy+yz+zt) + 100(x^2+y^2+z^2+t^2) = 901420

Debe ser zx+yt congruente con 0 módulo 10

x y z t
----------------
2 0 0 9
2 2 1 9
2 4 2 9
2 6 3 9
2 8 4 9
2 0 5 9
2 2 6 9
2 4 7 9
2 6 8 9
2 8 9 9
·
3 0 0 6
3 4 2 6
3 3 4 6
3 2 6 6
3 6 8 6

Bueno, hemos reducido las posibilidades a 14

Intentemos hacer una búsqueda binaria, bueno una busqueda con cabeza para no decir que las hemos ido probando todas una por una.

2009 · 9002 = 18085018 muy poco

tomamos los grandes

2899 · 9982 = 28937818  nos pasamos

3686 · 6863 = 25297018  nos quedamos cortos

Los que empiezan por 3 no sirven, ninguno puede dar un producto mayor que ese que se quedó corto

Tomemos un numero tal que el producto con su inverso sea menor que el que probamos de 2899 pero tampoco mucho

2849 · 9482 = 27014218

Pues ya está, son 2849 y 9482.

Y eso es todo.