¿Cómo se resuelve esta integral, no tengo idea?
$$\begin{align}&\int \frac{dx}{1 + e^x}\end{align}$$no se me ocurre como hacerla
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Respuesta de Lucas m
2
1ºMultiplicando y dividendo por e^x
2ºCambio de variable e^x=t
3ºDescomposición en fracciones simples
$$\begin{align}&\int \frac{1}{e^x+1}dx=\\ &\\ &\int \frac{e^x}{e^x(e^x+1)}dx=\\ &\\ &\int \frac{e^x}{e^{2x}+e^x}dx=\\ &\\ &e^x=t\\ &e^xdx=dt\\ &\\ &\int \frac{dt}{t^2+t}=\\ &\\ &Descomposición\\ &\\ &\frac{1}{t(t+1)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t+1}\\ &\\ &1=A(t+1)+Bt\\ &1=(A+B)t+A\\ &\Rightarrow\\ &A+B=0\\ &A=1 \Rightarrow B=-1 \\ &\\ &\int \frac{1}{t}-\frac{1}{t+1} \ dt=\\ &\\ &lnt-ln(t+1)=\\ &\\ &lne^x-ln(e^x+1)\\ &\\ &=x-ln(e^x+1)\end{align}$$
