Encontrar una base de Imf (imagen) y calcula la dimensión de Kerf (núcleo) :
El siguiente ejercicio dice:
Aplicación lineal f : R^3 -> R^4 definida por:
f(x,y,z) = (2x+3z, x+2y, -y, 3x+y+2z)
Nos piden calcular la base de la imagen (Imf) y calcular la dimensión de Kerf:
He buscado la dimensión de kerf y es 0 pero la duda que me sale es encontrar la base de la imagen.
Sería de dimensión 3 y sería (0,0,0),(0,0,0),(0,0,0) porque el nucleo es 0 o la base de la imagen sería (2,0,0),(0,4,0),(3,-3,-3)?
1 Respuesta
Manel Lopez!
La imagen sera el subespacio vectorial de R4 generado por la imagen de una base de R3.
Entonces toma una base de R3, calcula su imagen y comprueba la cantidad de vectores linealmente independientes que hay.
Como base de R3 tomaremos a canónica
f(1,0,0) = (2,1,0,3)
f(0,1,0) = (0,2,-1,1)
f(0,0,1) = (3,0,0,2)
Y la imagen será el subespacio generado por esos tres vectores, para simplificarlos y comprobar si la dimensión es 3 o menos haremos las típicas operaciones de suma de filas multiplicadas por constantes, o de multiplicación de filas por constantes distintas de 0.
Para facilitar las cuentas multiplicaré la primera por 3 y la tercera por -2
6 3 0 9
0 2 -1 1
-6 0 0 -4
·
Sumamos primera a la tercera
6 3 0 9
0 2 -1 1
0 3 0 -5
Ya se ve que son independientes no vamos a seguir, luego la dimensión del subespacio imagen es 3.
·
Y eso es todo.
¡Ah bueno, la pregunta era hallar la base! Pues podemos tomar los vectores iniciales
B1={(2,1,0,3), (0,2,-1,1), (3,0,0,2)}
O los obtenidos tras simplificar
B2={(6,3,0,9), (0,2,-1,1), (0,3,0,-5)}
O puedes devolver el primero a su forma original
B3 ={(2,1,0,3), (0,2,-1,1), (0,3,0,-5)}
En fin, cualquier combinación que obtengas con operaciones de filas sobre los vectores de la imagen de la base.
