Ecuaciones diferenciales problemas de valor inicial

Sea el problema de valor inicial:
x'= f (t, x), x (t0) = x0,

y sea D ⊆ R^n un dominio que contiene a x = 0. Suponer que f (t, 0) = 0 y
que f (t, x) es Lipschitz en x sobre [t_0, ∞) × D con constante de Lipschitz
L en ||.||_2 y que la solución x(t) está definida para todo t ≥ t0 y pertenece
a D.
(a) Mostrar que

|d/dt[x^T(t)x(t)]|<=2L||x(t)||_2^2

x^T(t) x transpuesta
(b) Mostrar que

||x0||_2*e^{-L(t-t0)}<=||x(t)||_2<=||x0||_2*e^{L(t−t0)}

Podrían ayudarme a darle solución a este problema o al menos orientarme por el correcto camino. Estaba pensando en usar la desigualdad de Picard pero no creo que sea el camino más conveniente. ¿Podrían orientarme?