¿Que tengo que hacer para obtener El ingreso marginal cuando produce 30,000 piezas?

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1) El ingreso marginal es la derivada del ingreso respecto de q

$$\begin{align}&I'(q)=-\frac 23q+60\\&\\&\text{como q se mide en miles de unidades}\\&\text{para 30000 unidades es q=30}\\&\\&I'(30) = 23·30 + 60 = 690+60 =750\end{align}$$

Luego la respuesta es $750

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2) Ese costo debe ser por cada 1000 unidades, si no se vendería más barato que el costo y la empresa sería una ruina

El costo será

C(q) = 10q

Donde q son miles de unidades

Y el costo márginal es lka derivada del costo

C'(q) = 10

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3) La utilidad es la diferencia entre el ingreso y el costo total

U(q) = -(1/3)q^2 + 60q - 10q - 600

U(q) = -(1/3)q^2 + 50q - 600

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4) El ingreso máximo se obtiene cuando el ingreso marginal es cero.

$$\begin{align}&I_{mg}(q) = -\frac 23 q +60 =0\\&\\&-\frac 23q = -60\\&\\&q =\frac{3·60}{2}=90\end{align}$$

Luego el ingreso máximo es cuando se fabrican 90q que son 90000 unidades.

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5) La utilidad máxima se obtiene cuando la derivada de la utilidad es 0

$$\begin{align}&U(q) =- \frac 13q^2 + 50q - 600\\&\\&U'(q)=-\frac 23q+50=0\\&\\&-\frac 23q=-50\\&\\&q = \frac{3·50}{2}= 75\\&\end{align}$$

Luego la utilidad máxima es para q=75 que son 75000 unidades

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6) La cantidad de equilibrio es cuando los ingresos son igal a los gastos. O dicho de otra forma cuando la utilidad es 0

$$\begin{align}& -\frac 13q^2 + 50q - 600=0\\&\\&\text{multiplicamos por -3}\\&\\&q^2 -150q +1800=0\\&\\&\text{resolvemos la ecuación}\\&\\&q=\frac{150\pm \sqrt{150^2-4·1800}}{2}=\\&\\&\frac{150\pm \sqrt{22500-7200}}{2}=\\&\\&\frac{150\pm \sqrt{15300}}{2}=\\&\\&\frac{150\pm \sqrt{15300}}{2}=\\&\\&\frac{150\pm 123,69317}{2}=\\&\\&13.153416\;y\;136,84658\end{align}$$

Esas son las dos cantidades de equjilibrio

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7) Y la función utilidad promedio es simplemente la función utilidad dividida entre q

$$\begin{align}&U(q) = - \frac 13q^2 + 50q - 600\\&\\&UP(q)= \frac{- \frac 13q^2 + 50q - 600}q=\\&\\&- \frac 13q + 50 - \frac{600}q\end{align}$$