Resolver problema de ingreso marginal

A) El ingreso marginal es la derivada de la función ingreso. Te pide que a esa derivada la evalúes en 30, ya que las "q" es cantidad en miles de unidades.
El ingreso marginal es: I'=-2/3q+60 y esto evaluado en 30 (30000 unidades) sería igual a -2/3 * (30) +60=40. Entonces el ingreso marginal para 30 mil unidades es de 40.
B) El costo marginal, es la derivada del costo. Tu función costo no te la dan explicitamente la tenés que deducir con la info que te dan. De la deducción saldría (costo variable que depende de "q" +costo fijo): C(q)=10q+600
eso lo derivás:
C'=10
Entonces el costo marginal es de 10.
C) Función utilidad: Es la diferencia entre tu función ingreso y tu función costo
U(q)=I(q)-C(q) reemplazamos las funciones I(q) y C(q) que teníamos de antes:
U(q)=(-1/3 q^2+60q)-(10q+600)
Simplificando un poco la expresión, es decir, realizando la resta entre los dos paréntesis:
U(q)=-1/3 q^2+50q-600
esta última es tu función de utilidad.
D) Para maximizar el ingreso:
Condición necesaria: que la derivada del I(q) sea igual a cero
I'=-2/3q+60=0
entonces:
-2/3q=-60
q=(-60)*(-3/2)=90
Condición suficiente: Que la derivada segunda sea negativa entonces ese valor hallado antes (q=90) es máximo: I´´=-2/3 como -2/3 es negativo, entonces Hay máximo y el máximo es en q=90.
Ingreso máximo: a la función ingreso común le reemplazo el q por 90 y el valor va a ser el máximo:
I(90)=-1/3.90^2+60.90= 2700 Respuesta:INGRESO MÁXIMO 2700$ cuando se venden 90 mil unidades.
E) Utilidad máxima:
Condición necesaria:
A la función utilidad (U(q)=-1/3 q^2+50q-600) la derivás y la igualás a cero:
U'=-2/3 q+50=0
despejando q=75 en este punto q=75 la utilidad es crítica (o máximo o minimo), por eso debo verificar que ese punto q=75 sea máximo.
Condición suficiente: Maximo si la derivada segunda es negativa
U''=-2/3 vale, es negativa. entonces el q=75 es un valor máximo.
Respuesta: Por lo tanto se debe fabricar 75 mil unidades para que la utilidad sea máxima. Podés calcular también en cuánto sería el valor de la utilidad reemplazando ese q=75 en tu función utilidad: U(75)=-1/3 75^2+50*75-600=3100
F) Cantidad de equilibrio. Son las cantidades que se producen cuyo costo iguala a tu ingreso. O sea una cantidad de beneficio nulo.
Entonces sería I(q)=C(q)
esto es:-1/3 q^2+60q=10q+600
a esto despejás el valor de q:
-1/3 q^2+60q-10q=600
-1/3 q^2+500q=600
-1/3 q^2+500q-600=0
Esto es una ecuación de segundo grado, la resolvés con la resolvente y te da dos valores de equilibrio. Tomás como válido el valor positivo.
G) La utilidad promedio es facilísimo es a la función de utilidad U(q) dividirla por q:
U(q)=-1/3 q^2+50q-600 a eso dividilo todo por q así:
U(q)/q=(-1/3 q^2+50q-600)/q
Eso es la utilidad promedio

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Simplemente contesto el apartado 6 ya que los demás los veo bien. Pero en este cometió una errata y no lo terminó

6) La cantidad de equilibrio es cuando los ingresos son igual a los gastos. O dicho de otra forma cuando la utilidad es 0

$$\begin{align}&−13q^2+50q−600=0\\&\\&\text{multiplicamos por -3}\\&\\&q²2−150q+1800=0\\&\\&\text{resolvemos la ecuación}\\&\\&q=\frac{150\pm \sqrt{1502−4⋅1800}}{2}=\\&\\&\frac{150\pm \sqrt{22500−7200}}{2}=\\&\\&\frac{150\pm \sqrt{15300}}{2}=\\&\\&\frac{150±123,69317}{2}=13.153416\;y\;136.384658\end{align}$$

Como puedes ver las dos cantidades son positivas.  Si una de ellas fuera negativa sería absurdo, ya que una producción negativa no lleva sino a más pérdidas que unidas a los gastos haría imposible el equilibrio.

Y eso es todo.