¿Cómo sacar el algébra de límites y continuidad?

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Son muchos ejercicios, no podré extenderme mucho en cada uno.

a) Es un polinomio, salvo en el infinito el límite es el valor del polinomio en el punto

lim x--> -1 (3x^3 - 4x + 8) = 3(-1)^3 - 4(-1) + 8 = 3(-1) + 4 + 8 =

-3 + 4 + 8 =  9

b) Lo mismo, es el valor del polinomio en el punto

lim x-->0 (x^5 - 6x^4 + 7) = 0^5 - 6·0^4 + 7 = 0 - 6·0 + 7 =

0-0+7 = 7

c) Si lo evaluamos en x=3 queda

(9 - 3^2) / (3-3) = (9-9) / 0 = 0 / 0

Cuando se un 0/0 es una indeterminación que debe corregirse dividiendo numerador y denominador por 3-x

$$\begin{align}&\lim_{x \to 3} \frac{9-x^2}{3-x}=\\&\\&\lim_{x \to 3} \frac{(3+x)(3-x)}{3-x}=\\&\\&\lim_{x \to 3} 3+x = 3+3 = 6\end{align}$$

d)  Tenemos un infinito positivo y otro negativo, en estos casos el infinito de la potencia de mayor grado es el que prima, luego el de x^3 que es positivo es el resultado.

Esto puede verse de otra forma también

$$\begin{align}&\lim_{x\to\infty}(x^3-x+100)=\\&\\&\lim_{x\to\infty}(x(x^2-1)+100)=\\&\\&\text{haciendo operaciones con el infinito}\\&\\&\infty(\infty-1)+100=\\&\\&\infty(\infty) +100 =\\&\\& \infty + 100 = \infty\end{align}$$

e)  Es una función constante tiene el mismo límite en cualquier punto y en los infinitos

lim x-->oo (-20) = -20

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Segunda parte.

Hay que calcular el límite cuando t tiende a infinito de Q(t). A simple vista se ve que es 6, pero vamos a calcularlo con toda la teoría necesaria

$$\begin{align}&\lim_{t\to\infty}\frac{6t^2+5t}{(t+1)^2}=\\&\\&\lim_{t\to\infty}\frac{6t^2+5t}{t^2+2t+1}=\\&\\&\text{se divide numerador y denominador por }t^2\\&\\&\lim_{t\to\infty}\frac{\frac{6t^2+5t}{t^2}}{\frac{t^2+2t+1}{t^2}}=\\&\\&\lim_{t\to\infty}\frac{6+\frac 5t}{1+\frac 2t+\frac 1{t^2}}= \frac{6+0}{1+0+0}=\frac 61 = 6\\&\\&\\&\end{align}$$

Luego la producción en el largo plazo será 6 unidades.

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Parte tercera

a) En el momento actual hayque sustituir t=0 con lo cual tenemos

$$\begin{align}&P(0)=\frac{40·0}{0^2+10}-\frac{50}{0+1}+70=\\&\\&\frac{0}{10}-\frac{50}{1}+70=0-50+70=20\end{align}$$

Como son miles serán 20000 personas

b) dentro de 5 años sustituimos t=5 y calculamos

$$\begin{align}&P(5)=\frac{40·5}{5^2+10}-\frac{50}{5+1}+70=\\&\\&\frac{200}{35}-\frac{50}{6}+70 =\\&\\&\frac{40}{7}-\frac {25}{3}+70=\\&\\&\frac{120-175+1470}{21}=\frac{1415}{21}=67.38095\end{align}$$

Al ser miles son 67380.95 que redondeando son 67381 personas

c) Y en el largo plazo hay que calcular el límite cuando t tiende a infinito

$$\begin{align}&\lim_{t\to\infty}\frac{40·t}{t^2+10}-\frac{50}{t+1}+70=\\&\\&\text{Solo pudiera haber dudas en el primer término}\\&\text{dividimos por t numerador y denominador}\\&\\&\lim_{t\to \infty}\frac{\frac{40t}{t}}{\frac{t^2+10}{t}}- 0+70=\\&\\&\lim_{t\to\infty}\frac{40}{t+\frac{10}{t}}+70=\\&\\&\frac{40}{\infty+0}-70= \frac{40}{\infty}+70=0+70 = 70\\&\\&\end{align}$$

Luego a largo plazo la población será 70000 personas.