Considera la función, f(x)=(2x-1)^2 (9-x). Determina lo siguiente:

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$$\begin{align}&f(x)=(2x-1)^2(9-x)\\&\\&f'(x) = 2·2(2x-1)(9-x)-(2x-1)^2\\&\\&f'(x)=(2x-1)(36-4x-2x+1)\\&\\&f'(x)=(2x-1)(37-6x)\end{align}$$

Y esta es la forma más simplificada y mejor, porque lo siguiente que te van a pedir son los ceros de la derivada y fíjate que de esta forma ya los tienes medio resueltos

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2)

f'(x) = 0 ==> (2x-1) = 0   ó  (37-6x)=0

Luego los ceros son

2x-1=0 ==> x= 1/2

37-6x=0  ==> x = 37/6

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Retorno al punto 1)

Pero si el profesor quiere que tenga forma de suma de monomios se hace y queda

y' = (2x-1)(37-6x) = 74x - 12x^2 - 37 +6x = -12x^2 + 80x - 37

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3)

Y esto sirve para hacer mejor la derivada segunda

y''=-24x + 80

Entonces para el punto x=1/2

y''(1/2) = -12 + 80 = 68  luego es un mínimo

y''(37/6) = -4·37 + 80 = -68 es un máximo

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4) Podríamos deducir que la función f(x) es un polinomio de grado 3 cuyo coeficiente director (el de x^3) es negativo (no es necesario hacer todo el producto), con lo cual empieza valiendo infinito en el -infinito. De esta forma sabríamos que el primer intervalo (hasta la raíz menor) es decreciente, el segundo (entre las raíces) es creciente y el tercero (de la raíz mayor al infinito) es creciente.

Pero lo normal es que te hayan enseñado que se calcula el valor de la derivada primera en un punto de cada intervalo y el signo te indica si es creciente o decreciente

f'(x) = -12x^2 + 80x - 37 

(-oo, 1/2) ==> f(0) = -37  ==> decreciente

(1/2, 37/6)==>f(1) = -12+80-37 = 31 ==> creciente

(37/6, oo) ==>f(10) = -1200 +800 -37 = -437 ==> decreciente

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Y eso es todo.

Hola Valero Angel
Muchas gracias por su pronta y completa respuesta.
Podria ayudarme con los siguientes ejercicios.
Se lo agradeceria mucho.
 

1) Usted ha determinado que el comportamiento de sus utilidades, en función del precio de su producto, está dado por la expresión,

$$\begin{align}&U(p)=400(15-p)(p-2)\end{align}$$

donde la utilidad está dada en cientos de pesos y el precio está limitado por el intervalo . Mediante derivación, determina el precio al que la utilidad es máxima, y calcule ese valor óptimo.

2) 

La demanda de uno de sus productos está dada por la función

$$\begin{align}&q(p)=2000/p^2 \end{align}$$

 Determina la función de elasticidad precio de la demanda, e indique el tipo de elasticidad si el precio es de $5.

3) De acuerdo con los registros de costos para diferentes niveles de producción de uno de sus artículos. El costo total de fabricar  unidades de dicho artículo, está dado por:

$$$$

1. Determina el costo marginal si el nivel de producción es de 10 unidades.
2. Determina el costo promedio si el nivel de producción es de 10 unidades.