Calculo diferencial y sus aplicaciones análisis marginal
Considera la función
$$\begin{align}&f(x)=(2x-1)^2(9-1)\end{align}$$determina lo siguiente:
a) La derivada de la función, lo más simplificada posible.
b) Los valores críticos de la función.
c) Si los valores son máximos o mínimos
d) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
2 Respuestas
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Parece un poco rara esa función, ¿puede qué falte alguna x en el segundo factor?
De todas formas de acuerdo a lo escrito tenemos
$$\begin{align}&f(x)=(2x-1)^2(9-1)\\&\\&f(x)=8(2x-1)^2\\&\\&f'(x) = 8·2(2x-1)·2 =\\&\\&32(2x-1)=\\&\\&64x-32\end{align}$$Nota que la otra respuesta que te han dado está mal porque calcularon mal el cuadrado del binomio.
Los valores críticos de la función son los que hacen 0 la derivada
f'(x) = 64x - 32 = 0
64x = 32
x = 32 / 64 = 1/2
Luego hay un solo valor crítico
x=1/2
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El valor será un máximo si la derivada segunda es negativa para ese valor. Y será un mínimo si la derivada segunda es positiva.
Como
f '(x) = 64x -32
f ''(x) = 64
Es positiva para x=1/2 y cualquier otro valor, luego enx=1/2 tenemos un mínimo.
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La función crece cuando la derivada es positiva y decrece cuando es negativa.
La derivada es
f'(x) = 64x - 32
sabemos que en x=1/2 vale 0
Y para un valor menor que 1/2 tenemos
f'(0) = - 32 la derivada es negativa luego f decrece
Y para uno mayor que cero
f'(1) = 64-32 = 32 es positiva luego la función crece.
Por lo tanto
(-infinito, 1/2) decreciente
(1/2, infinito) creciente
.
Y eso es todo.
Le pido una disculpa cometí un error de redacción en la fórmula, es cierta su observación.
La redacción correcta es:
Considera la función
$$\begin{align}&f(x)=(2x-1)^2(9-x)\\&\end{align}$$determina lo siguiente:
a) La derivada de la función, lo más simplificada posible.
b) Los valores críticos de la función.
c) Si los valores son máximos o mínimos
d) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
Ya decia yo que no tenía sentido escribir un factor (9-1)
f(x) = (2x-1)^2·(9-x)
f '(x) = 2(2x-1)·2(9-x) - (2x-1)^2 =
f '(x) = (2x-1)(36-4x-2x+1)
f '(x) = (2x-1)(37-6x)
Esa forma está bien según para qué, yo l a dejaría así.
Y si la quieren simplificada como sumandos sería
f '(x) = 74x -12x^2 - 37 + 6x
f '(x) = -12x^2 +80x -37
·
Hay dos puntos críticos, para los cuales usaremos la forma que te decía que me gustaba más, ahora ves el porqué
2x-1 = 0 ==> x = 1/2
37-6x = 0 ==> x = 37/6
Para ver cual es máximo y cual mínimo calculamos la derivada segunda. Ahora en la otra forma
f ''(x) = -24x + 80
f ''(1/2) = -12+80 = 69 luego x=1/2 es un mínimo
f''(37/6) = -4·37+ 80 = -68 luego x=37/6 es un máximo
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Para los intervalos de crecimiento y decrecimiento puedes usar el criterio del signo de la derivada tal como hice antes. O puedes usar uno con el que se hacen menos cuentas.
Si hay un mínimo antes decrecia y después crece. Eso pasa en x=1/2.
(-oo, 1/2) decreciente
(1/2, 37/6) creciente
y si hay un máximo antes crecía y despues decrece, luego
(37/6,oo) decreciente
Y eso es todo.
Primero vamos a empezar a simplificar la función
$$\begin{align}&f(x)=(2x−1)^2(9−1)\\&f(x)=(2x−1)^2(8)\\&f(x)=(4x^2−2x+1)(8)\\&f(x)=32x^2−16x+8\\&\\&\\&\end{align}$$Cuya derivada es
$$\begin{align}&f'(x)=64x−16\end{align}$$los críticos de la función será cuando la derivada sea cero, luego
$$\begin{align}&f'(x)=64x−16\\&0 = 64x - 16\\&x = 1/4 = 0,25\end{align}$$Como la función tiene el coeficiente principal (32) positivo, esto quiere decir que la función cuadrática tiene forma de U, por lo tanto x = 0,25 es mínimo
Por lo mismo que antes la función decrece en el intervalo (-inf, 0,25) y crece en el intervalo (0,25, +inf)
Perdón cometí un error en la redacción de la fórmula.
La redacción correcta es
Considera la función
$$\begin{align}&f(x)=(2x-1)^2(9-x)\\&\end{align}$$determina lo siguiente:
a) La derivada de la función, lo más simplificada posible.
b) Los valores críticos de la función.
c) Si los valores son máximos o mínimos
d) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
Ok, como ya más o menos tienes la idea, vamos más aprisa. Primero vamos a escribir la función en forma de polinomio "normal"
$$\begin{align}&f(x)=(2x−1)^2(9−x)\\&f(x)=(4x^2−4x+1)(9−x)\\&f(x)=36x^2−36x+9-4x^3+4x^2-x\\&f(x)=-4x^3+40x^2−37x+9\end{align}$$ahora sí calculamos la derivada
$$\begin{align}&f'(x)=-12x^2+80x−37\end{align}$$Para hallar los puntos críticos, debemos ver donde f'(x) = 0, para esto utilizamos la forma de resolver la cuadrática
$$\begin{align}&\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&\\&\frac{-80 \pm \sqrt{80^2-4(-12)(-37)}}{2(-12)}\end{align}$$Cuyas soluciones posibles (puntos críticos de la función) son x = 1 ó x = 12,3....
Como la función original es un polinomio de grado 3, la función tiene forma de ene mayúscula con un brazo yendo a - infinito y el otro a + infinito o una ene invertida con los signos de los infinitos cambiados.
Esto hace que la función tenga un máximo (local) y un mínimo (local). Para ver esto vamos a calcular f'' y evaluarla donde f' se hacía cero
$$\begin{align}&f''(x)=-24x+80\end{align}$$f''(1) = 56 y f''(12,3...) = -216
Como en 1, f'' es positiva, entonces la función tiene un mínimo en ese punto y por el contrario como en 12,3... f'' es negativa, en ese punto hay un máximo.
Por último los intervalos, como dije, esta función tiene forma de N (puede ser al derecho o al revés), como el primer punto crítico que tiene (1) es mínimo, la función tiene forma de N al revés y los intervalos son
Decrecimiento: (-inf, 1) U (12,3..., +inf)
Crecimiento: (1; 12,3...)
Perdona, olvidé multiplicar por 2 en la expresión de la cuadrática para hallar los ceros de f'; las raices son x = 0,5 y x = 6,1666... más allá de eso el resto vale (aunque cambiando los intervalos justamente a estos nuevos puntos