Álgebra superior, teoría de polinomios
Sean f,g pertenecientes a C [x] tales que f (a)=g(a) para toda a perteneciente a C. Demuestre que f (x)=g(x).
1 Respuesta
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Si f(a)=g(a) para todo C también lo será para las raíces.
Si r es raíz de f tendremos f(r)=0=g(r) con lo cual r será raíz de g. Y viceversa, toda raíz de g será raíz de f. Luego tendrán las mismas raíces y los polinómios podrán expresarse como
f(x) = k(x-r1)(x-r2)···(x-rn)
g(x) = h(x-r1)(x-r2)···(x-rn)
con h, k de C distintos de 0
f(x) / k = g(x) / h
f(x) = (k/h) g(x)
dado un punto a que no sea raíz tendremos
f(a) = (k/h) g(a)
pero como f(a)=g(a) tendremos
k/h = 1
luego
f(x) = 1· g(x)
f(x) = g(x)
·
Y eso es todo.
Me ha quedado una duda en la solución específicamente en el párrafo 2-3 donde me parece que no se considera que las raíces pueden ser diferente multiplicidad por ejemplo f(x)=x+1 y g (x)=(x+1)^2 tienen las mismas raíces pero no sopuedaroes. Espero puedan aclarar mi duda.
Buena pregunta.
Si dos polinomios tienen los mismos valores en todo C también tienen que tener la misma derivada en todos los puntos, ya que la derivada por definición será el mismo límite. Y lo mismo sucederá con las derivadas segunda, tercera, etc.
Si un polinomio tiene una raíz de multiplicidad 1 y otro demultiplicidad 2
f(x) = (x-a1)p(x)
g(x) = (x-a1)^2·q(x)
·
f'(x) = p(x) + (x-a1)p'(x)
y a1 no es raíz de f'(x) ya que no divide a p(x)
g'(x) = 2(x-a1)q(x) + (x-a1)^2·q'(x)
Sin embargo aquí a1 si es raíz de g'(x)
Luego f'(a1) distinto de g'(a1)
Absurdo.
Y esto se generaliza para cualquier orden haciendo que las derivadas segunda, tercera u otra sea distinta en una raíz que no tenga la misma multiplicidad en ambos polinomios.
