Preguntas de falso y verdadero sobre diagonalización,valores y vectores propios de matrices

Son muchos ejercicios, si veo que son costosos te pediré que los dividas en más preguntas. Muchos de ellos son motivo más que sobrado para una pregunta. Además las preguntas largas las dejo para mejor ocasión.

b) ¡Ojalá fuese así! Porque toda matriz inversible es equivalente por filas a la identidad (esto se deduce del método de Gauss para obtener la inversa) y entonces toda matriz con determinante distinto de cero sería diagonalizable. Fíjate si nos ahorraríamos la complicada teoría sobre los valores propios, vectores propios y dimensión de los subespacios propios para ver si una matriz es diagonalizable.

Pero la respuesta es falso. Toma esta matriz 2x2

1 1

0 1

Es equivalente a la identidad por filas, basta que restes a la primera la segunda.

Pero no es diagonalizable

Sus vectores propios son el 1 con multiplicidad 2

El subespacio propio es la solución de la ecuación

(1-1)x + y = 0

0x +(1-1)y = 0

Es decir, el espacio propio es y=0

Y en ese espacio no caben 2 vectores propios linealmente independientes, solo hay uno el (1,0). Al no coincidir la dimensión del espacio con la multiplicidad del valor propio no es diagonalizable la matriz.

c) Verdadero. El determinante

|A-x·Id|=0

Lo podemos desarrollar por la fila o columna de ceros, entonces queda unicamente el elemento (0-x) multiplicado por el menor que queda quitando esa fila y columna. Ese menor es un polinomio de x, con lo cual queda

(0-x)P(x) = 0

xP(x) = 0

Luego x=0 es una solución del polinomio característico y por lo tanto es un valor propio.

d) Falso. Sea x un valor propio de A, entonces existe v tal que

Av = xv

Multiplicamos por A a la izquierda

A(Av) = A(xv)

(A^2)v = x(Av)

Sustituimos Av por su valor

(A^2)v = x(xv) = (x^2)v

Luego los valores propios de A^2 son los cuadrados de los valores propios de A. Unicamente para los valores propios 0 y 1 se cumpliría el enunciado, para los demás no.

e) Verdadero. Usa el mismo desarrollo de la parte anterior donde de

Av = xv

se llega a

(A^2)v = (x^2)v

Eso quiere decir que un vector propio de A también lo es de A^2

Y eso es todo, para responder los otros manda los ejercicios de cada enlace en una pregunta independiente.