Cálculo de una integral de Riemann-Stieltjes
Dados f(x) =1+x^2, con x ∈ J=[-1,3] y sea P={-1,-1/3,0,1/2,1,2} calcula U(f,g,P) y L(f,g,P) si g(x) =x^3.
Yo digo que:
Se nos dan los siguientes datos:
f(x)=1+x^2,con x∈J=[-1,3] y
P={-1,-1/3,0,1/2,1,2}
Empezamos por sustituir los valores dados del intervalo para g(x), y resulta:
g(x)=x→g(-1)=-1 ;g(3)=3
g(x)=x^3→g(-1)=-1 ;g(3)=27
En este problema, utilizaremos el siguiente teorema:
Sea J=[a,b], g es creciente en J, f es Riemann-Stieltjes integrable con respecto de si y sólo si, dado epsilon mayor que cer, existe una partición P tal que
U(f,g,P)-L(f,g,P)=∑M_k Δ_gk- ∑M_k Δ_gk<ε
Es importante recordar la siguiente definición:
Definición 0.
Sea a<b, recibe el nombre de partición P del intervalo [a,b], cualquier subconjunto finito de puntos x_0<x_1<⋯x_(n-1)<x_n=b, de donde
a= x_0<x_1<⋯x_(n-1)<x_n=b.
Se escribe ∆x_i=x_i-x_(i-1).
Sea f función real, acotada, definida sobre [a,b] y P partición de [a,b], sean
M_i=sup(x) (x_(i-1)≤x≤x_i)
m_i=inf f(x)(x_(i-1)≤x≤x_i )
U(P,f)=∑_(i=1)^n M_i Δx_i
L(P,f)=∑_(i=1)^n m_i Δx_i
Entonces
Definimos S(∫_a^b fdx=inf U(P,f)y l( ∫_a^b fdx)=supL(P,f) donde se ha considerado el supremo y el ínfimo sobre todas las particiones P sobre [a,b],las definiciones anteriores se llaman integral superior e inferior de Riemann sobre [a,b],respectivamente.
Calculamos:
M_k=sup(1+x^2 )(-1≤x≤3)
m_k=inf(1+x^2 )(1≤x≤3)
U(f,g,P)=∑_(k=1)^n〖M_k ∆x_(g_k ) 〗
L(f,g,P)=∑_(k=1)^n〖m_k ∆x_(g_k ) 〗
A la función f se le llama el integrando y a g el integrante, se dice que f es g-integrable, o f es Riemann-Stieltjes integrable con respecto a g. Escribimos ∆_(g_k )=g(x_k )-g(x_(k-1) ), la definición es equivalente a una de sus sumas inferiores o superiores, entonces:
g(x_k )-g(x_(k-1) )=-1 a menos que -1∈[x_(k-1),x_k ) , si es así entonces:
g(x_k )-g(x_(k-1) )=3
Entonces:
L(f,g,P)=∑_(k=1)^n m_k ∆x_(g_k ) =inf(1+x^2 )(-1≤x≤3)
tenemos también
g(x_k )-g(x_(k-1) )=-1 a menos de que -1∈[x_(k-1),x_k ) si es así entonces:
g(x_k )-g(x_(k-1) )=27
U(f,g,P)=∑_(k=1)^n M_k ∆x_(g_k ) =sup(1+x^2 )(-1≤x≤27)
Ya que f es continua en 0, ambos valores están cercanos a f(0), haciendo x_k-x_(k-1) pequeño
∫_(-1)^3 fg´=f(0) luego,las particiones nos quedan así:
(1+x^2 ) cuando x=-1→f(-1)=(1+1)=2
(1+x^2 ) cuando x=-1/3→f(-1/3)=(1+1/9)=10/9=11/9
(1+x^2 ) cuando x=0→f(0)=(1+0)=1
(1+x^2 ) cuando x=1→f(1)=(1+1)=2
(1+x^2 ) cuando x=2→f(2)=(1+4)=5
Por lo tanto, se sigue que:
∫_(-1)^3 fg´=f(0)=1
Y eso sería todo
¿Está correcto?
1 respuesta
·
Yo pienso que simplemente te piden calcular la suma integral de Riemann-Stieltjes superior e inferior para una función f(x) =1+x^2, en un intervalo J=[-1,3] y con una partición del intervalo P={-1,-1/3,0,1/2,1,2} siendo g(x) =x^3.
Y eso es una suma de los productos del supremo o ínfimo de la función por el incremento de g correspondiente.
La función es
f(x)=1+x^2
su derivada
f'(x) = 2x
luego en x=0 tiene su mínimo, antes es decraciente y despues creciente
Calculamos los valores de f y g en los intervalos que nos dan
[xi, x_i+1] Sup Inf g(xi) g(x_i+1) Inc g-------------------------------------------------[-1,-1/3] 2 10/9 -1 -1/27 26/27[1/3, 0] 10/9 1 -1/27 0 1/27[0, 1/2] 5/4 1 0 1/8 1/8[1/2, 1] 2 5/4 1/8 1 7/8[1, 2] 5 2 1 8 7[2, 3] 10 5 8 27 19
Luego la suma superior es
$$\begin{align}&U(f,g,P)=2·\frac{26}{27}+\frac{10}9·\frac 1{27}+\frac 54·\frac 18+2·\frac 78+5·7+10·19=\\&\\&\frac{52}{27}+ \frac{10}{243}+\frac{5}{32}+\frac 74 +35+190=\\&\\&...\\&\\&=\frac{1779719}{7776}=228.8733281893004\\&\\&\\&\\&L(f,g,P) = \frac {10}9·\frac{26}{27}+1·\frac 1{27}+1·\frac 18+\frac 54·\frac 78+2·7+5·19=\\&\\&\frac{260}{243}+\frac 1{27}+\frac{1}{8}+\frac{35}{32}+14+95 =\\&\\&...\\&\\&\frac{865669}{7776}=111.3257458847737\end{align}$$Y eso es todo.
Muchas ¡Gracias! Maestro Valero
[xi, x_i+1] Sup Inf g(xi) g(x_i+1) Inc g -------------------------------------------------- [-1,-1/3] 2 10/9 -1 -1/27 26/27 [1/3, 0] 10/9 1 -1/27 0 1/27 [0, 1/2] 5/4 1 0 1/8 1/8 [1/2, 1] 2 5/4 1/8 1 7/8 [1, 2] 5 2 1 8 7 [2, 3] 10 5 8 27 19
Vamos a ver si ahora sale bien, no hay nada más horrible que una tabla en una sola línea o con los espacios quitados, aquí pasaban de las dos cosas.
Probando.
Parece que ahora se ve bien.
