Sobre calculo integral (suma de riemann)

Hará la suma de Riemann evaluada en el lado derecho de los intervalos

El paso será

h=(3-1/4) / n = 11 / (4n)

Y los puntos donde se calculará f son

x_i = (1/4) + 11i / (4n)

con 1 <= i <= n

Con todo esto la suma de Riemann es:

$$\begin{align}&S_n=\sum_{i=1}^{n}h·f(x_i)=h·\sum_{i=1}^{n}f(x_i)=\\&\\&\frac{11}{4n}·\sum_{i=1}^{n} \left(10 -\left(\frac 14+\frac{11i}{4n}  \right)^2  \right)=\\&\\&\frac{11}{4n}·\sum_{i=1}^{n} \left(10 -\frac 1{16}-\frac {11i}{8n}-\frac{121i^2}{16n^2}  \right)=\\&\\&\frac{11}{4n}·\sum_{i=1}^{n} \left(\frac {159}{16}-\frac {11i}{8n}-\frac{121i^2}{16n^2}  \right)=\\&\\&\frac{11}{4n}·\frac{159n}{16}-\frac{121}{32n^2}\sum_{i=1}^{n}i-\frac{1331}{64n^3}\sum_{i=1}^{n}i^2=\\&\end{align}$$

El sumatorio de los números naturales está al alcance de todos mediante la fórmula de la suma de una sucesión artimética.

$$\begin{align}&S=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\\&\\&\text {para los números entre 1 y n será}\\&\\&S = \frac{n(1+n)}{2}=\frac{n^2+n}{2}\end{align}$$

Para la suma de los cuadrados no es tan sencillo, aunque es probable que hayas visto la fórmula en el tema de demostraciones por inducción.

Sin más te doy la fórmula que la puedes encontrar en Internet

http://rinconmatematico.com/bunge/sumacuadrados/sumacuadrados.htm

$$\begin{align}&S_2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\\&\\&\frac{2n^3+n^2+2n^2+n}{6}=\\&\\&\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac n6\end{align}$$

En realidad el único que va a servir es el primer término n^3 / 3, luego no es necesario perder mucho tiempo en calcular la expresión exacta, lo digo para cuando se integren expresiones que tengan x^3, x^4 o más.

Y sustituímos estas sumas obtenidas en la expresión que habíamos dejado de la suma Riemann

$$\begin{align}&\frac{11}{4n}·\frac{159n}{16}-\frac{121}{32n^2}\sum_{i=1}^{n}i-\frac{1331}{64n^3}\sum_{i=1}^{n}i^2=\\&\\&\frac{1749}{64}-\frac{121}{32n^2}·\frac{n^2+n}{2}-\frac{1331}{64n^3}\left(\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac n6  \right)=\\&\\&\frac{1749}{64}-\frac{121}{64}-\frac{121}{64n}-\frac {1331}{192}-\frac{1331}{128n}-\frac{1331}{384n^2}\\&\\&\text{Como la suma Riemann es el límite cuando n}\to \infty\\&\text{los términos con n en el denominador se hacen 0}\\&\text{y los dejo ya y solo sumo los que no tienen n}\\&\\&S=\frac{3·1749-3·121-1331}{192}=\frac{3553}{192}\end{align}$$

Después de hacer tal nivel de cuentas uno no puede quedarse tranquilo hasta que no verifique la integral resuelta por medios normales

$$\begin{align}&\int_{\frac{1}{4}}^3(10-x^2)dx=\\&\\&\left[10x-\frac{x^3}{3}  \right]_{\frac 14}^3=\\&\\&30-9-\frac{10}{4}+\frac{1}{192}=\\&\\&21-\frac 52+\frac{1}{192}=\\&\\&\frac{21·192-5·96+1}{192}=\frac{3553}{192}\end{align}$$

Como me temía había tenido un fallo, pero ya lo corregí y está todo bien.

Y eso es todo, en algunos sitios sobran cosas porque cuando se hacen en la práctica se va más rápido y en otros faltan algunos detalles por la dificultad de escritura en este medio. Pero espero que te sirva y lo hayas entendido.

Muchas gracias por su respuesta, solo tengo una pequeña duda.

A evaluar la ultima parte 

$$\begin{align}&A=(30-9)-(10/4+1/192)=\\&A=21-(5/2+1/192)=\\&\\&A=(21(192))/192-((5(96))/192+1/192)=\\&A=4032/192-(480/192+1/192)=\\&A=4032/192-481/192=3551/192\\&\end{align}$$

El resultado final diere por 2/192 al resultado inicial, ¿ES normal esta diferencia?

Nuevamente gracias.