Determina la integral de las siguientes funciones

·

La primera se hace por cambio de variable.

La segunda también se hace por cambio de variable, pero como es definida, a la vez que cambio la variable cambiaré los límites de integración de acuerdo a la nueva variable. De esta forma no es necesario deshacer el cambio cuando se hace la evaluación.

Y la tercera será por partes.

$$\begin{align}&c)\quad\int 8x^2(4x^3-5)^4dx=\\&\\&t=4x^3-5\\&dt=12x^2dx  \implies x^2dx= \frac {1}{12}dt\\&\\&=8·\frac 1{12}\int t^4dt=\\&\\&=\frac 23·\frac{t^5}{5}+C =\frac{2(4x^3-5)^5}{15}+C\\&\\&\\&\\&d) \quad  \int_2^4 \frac{x}{x^2-1}dx=\\&\\&t=x^2-1\\&dt=2x dx\implies xdx=\frac 12 dt\\&x=2\implies t=3\\&x=4\implies t=15\\&\\&=\frac 12\int_{3} ^{15}\frac {dt}{t}=\\&\\&\left.\frac 12 lnt\right|_3^{15}=\frac{ln15-ln3}{2}\\&\\&\\&\\&e)\quad \int xe^{0.5x}dx =\\&\\&\text{esta se hace por partes}\int udv=uv-\int vdu\\&u=x \quad\quad\quad\quad du=dx\\&dv=e^{0.5x}dx \quad v=2e^{0.5x}\\&\\&= 2xe^{0.5x}|_0^1-\int_0^1 2e^{0.5x}dx=\\&\\&2e^{0.5}-0 -\left[4e^{0.5x}  \right]_0^1 =\\&\\&2e^{0.5}-4e^{0.5}+4e^0=4-2e^{0.5}\end{align}$$

Y eso es todo.