Resolver una integral con la función cos(x^2)

Fred Ro!

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Es una integral que se resuelva fácilmente con cambio de variable.

Como supongo sabrás cuando es una integral definida y haces cambio de variables puedes hacer dos cosas.

1) Cambiar los límites de integración con lo cual no tienes que deshacer lel cambio al final

2) No cambiar los límites de integración y tienes que deshacer el cambio al final

Yo creo que es mejor usar el método 1, aparte el 2 es evidente y tiene menor interés.

$$\begin{align}&\int_0^{\sqrt \pi}[xcos(x^2)+x^2]dx=\\&\\&\int_0^{\sqrt \pi}xcos(x^2)dx+ \int_0^{\sqrt \pi}x^2dx=\\&\\&\text {Hacemos cambio solo en la primera}\\&\\&t= x^2;  \quad dt=2xdx\quad; xdx=\frac 12dt\\&x=0\implies t=0\\&x=\sqrt \pi\implies t=\pi\\&\\&=\frac 12\int_0^{\pi}cost\;dt + \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{\sqrt \pi}=\\&\\&\frac 12\left[sent\right]_0^{\pi}+ \frac{\sqrt{\pi^3}}{3}=\\&\\&\frac 12(0-0)+ \frac{\pi \sqrt \pi}{3}= \frac{\pi \sqrt \pi}{3}\end{align}$$

Fíjate como cada una de las dos integrales se ha evaluado con un límite superior distinto debido a la forma de hacerlo.  Si quieres puedes hacerlo por el otro método, deshaciendo el cambio t=x^2 y evaluando entre 0 y raíz de pi en la primera integral, comprobarás que el resultado es el mismo.

Y eso es todo.