Unidades producidas y vendidas que logran el valor máximo de las utilidades y el valor de este máximo u(q)=-2.5q^2+725q-8700
Es de la materia de Matemáticas Administrativas, necesito comprender cómo se logran obtener los valores máximo y mínimo de las utilidades y ¿a qué se refiere con el valor de éste máximo? ¿No es lo mismo?
1 respuesta
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Los máximos o mínimos se calculan igualando la derivada a 0. Si hay dudas sobre si un punto es máximo o mínimo se puede usar el criterio de la derivada segunda, aunque con los polinomios por el grado y el signo del coeficiente de q^2 ya se sabe lo que es.
Entonces vamos a derivar e igualar a cero
U(q) = -2.5q^2 + 725 q - 8700
U'(q) = -5q + 725 = 0
-5q = -725
q = 145
Por el criterio de la derivada segunda tenemos
U''(q) = -5
luego
U''(145) = -5
Y como es negativo el punto es un máximo.
Por la forma de polinomio es una parábola con forma de iglú por tener negativo el coeficente de q^2, por lo tanto el vértice es un máximo.
Y una vez encontrado el punto q que maximimiza la función calculamos el valor de la función en dicho punto
U(145) = -2.5(145)^2 + 725·145 - 8700 =
-2.5 · 21025 + 105125 - 8700 =
-52562.5 + 105125 - 8700 = 43862.5
Y esté es el máximo de la función 43862.5
Y el punto q donde se da el máximo es 145
Esa es la diferencia que creo preguntabas.
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El mínimo es donde las utilidades son más pequeñas.
Hemos visto que solo habia un punto crítico y era un máximo. Entonces el mínimo solo puede darse en los extremos que son el 0 por la izquierda o el infinito por la derecha
En el 0 será
U(0) = -8700
En el infinito será
-2.5·infinito^2 + 725·infinito -8700
El infinito al cuadrado es el que prevalece luego elñ valor es
-2.5·infinito^2 = -infinito
Luego las utilidades más pequeñas están el el infinito. Matemáticamente no hay mínimo pero se entende que cuanto más se fabrique a partir de determinado momento más se perderá.
Otra cosa sería si nos hubieran dado un límite de producción, entonces la utilidad mínimá sería la menor entre - 8700 y la de ese límite.
¡Gracias!
Me sirvió de mucho, sobre todo al revisar la última parte en donde me explica los valores mínimos. Muy parecido a lo que, en alguna ocasión, nos enseñaron en secundaria utilizando las gráficas. Tengo muchas otras preguntas, ahora en el tema de los límites de las funciones pues estudio en línea y mi docente NUNCA aclara dudas. Espero encontrar, más que soluciones, explicaciones tan claras como la que me ha dado.
