¿Cómo demostrar que (T) es una transformación lineal?

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Hay que demostrar que es una aplicación y es lineal.

Que es una aplicación es obvio, a cada polinomio de P2 le corresponde una y solo una matriz de M2x2.

Y para ser lineal debe cumplir dos condiciones:

1) T(p+q) = T(p)+T(q)   para todo p,q € P2

2) T(Kp) = k·T(p) para todo p € P2 y todo k€R

Demostración:

Sea p=ax^2+bx+c

        q=a'x^2+b'x+c'

T(p+q) = T(ax^2+bx+c + a'x^2 +b'x +c') =

T((a+a')x^2+(b+b')x +(c+c') =

( a+a'-b-b'        b+b'  )

(c+c'+a+a'      2a+2a')

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T(p)+T(q) =T(ax^2+bx+c) + T(a'x^2+b'x+c') =

( a-b     b )         (a'-b'     b')         (a+a'-b-b'         b+b')

(c+a    2a )    +   (c'+a'  2a')    =   (c+c'+a+a'    2a+2a')

Como vemos los dos resultados son iguales, luego

T(p+q)=T(p)+T(q)

Y la segunda condición será

T(kp) = T(kax^2+kbx+kc) =

(ka-kb     kb)

(kc+ka    2ka)

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k·T(p) =

       (a-b     b)       (ka-kb      kb)

 k   (c+a   2a)  =   (kc+ka    2ka)

Los resultados son iguales, luego:

T(kp) = k·T(p)

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Y siendo una aplicación y cumpliendo esas dos condiciones se cumple que T es una transformación lineal (o aplicación lineal en otros sitios).

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Y eso es todo.