Determine si el conjunto genera a P2
Descarta mi otra pregunta, por favor. Esta no entiendo.
Determine si el conjunto S = { 1, x^2, x^2 + 2 } genera a P2.
1 Respuesta
Demasiado tarde, ya la respondí.
P2 es el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual o dos. Puedes resolver el ejercicio de dos formas.
Sabiendo que P2 tiene dimensión 3 y viendo si esos tres son una base. Para ello deberán ser independientes, pero no lo son ya que el tercero es el segundo más dos veces el primero
x^2 + 2 = x^2 + 2·1
O viendo que hay algún vector de P2 que no se puede generar con esos elementos.
En concreto toma el polinomio x o cualquiera que tenga x o bx con b distinto de 0 en su composición. Vamos a tomar el caso general, un polinomio ax^2+bx+c con b distinto de 0.
ax^2 + bx + c = d·1 + ex^2 + f(x^2+2)
ax^2 + bx + c = d + (e+f)x^2 + 2f
igualando coeficientes de los polinomios surgen tres ecuaciones
a = e+f
b = 0
c = d + 2f
Pero habíamos dicho que b era distinto de 0, luego no hay solución para ese caso y ese polinomio no se puede generar con esos elementos.
Y eso es todo.
