¿Encontrar el núcleo de una transformación de polinomio a matriz?
Sea p2-> la transformación lineal definida por
T(a+bx+cx^2)= a+b
b+c
Cuales, si es el caso, de los polinomios siguientes se encuentran en el núcleo (T) y porque
Procedimiento
1 respuesta
No das el enunciado completo pero me parece entender que estas hablando de una aplicación lineal entre el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 y las matrices 2x1, todo ello suponiendo que el cuerpo de ambos espacios es R.
Antes de nada voy a comprobar que efectivamente es una aplicación lineal
1) f(a+bx+cx^2 + d+ex+fx^2) = (a+d+b+e) =
(b+e+c+f)
(a+b) (d+e)
= (b+c) + (e+f) = f(a+bx+cx^2) + f(d+ex+fx^2)
2) f(k(a+bx+cx^2)) = (ka+kb) =
(kb+kc)
(a+b)
= k(b+c) = k·f(a+bx+cx^2)
Luego es lineal.
El núcleo de la aplicación es el subconjunto del espacio origen cuya imagen es el elemento neutro del espacio imagen. Además la teoría dice que dicho subconjunto es un subespacio vectorial
El elemento neutro de la matrices 2x1 es
(0)
(0)
Los polinomios cuya imagen sea ese elemento son aquellos cuyos coeficientes cumplen esta igualdad matricial
(a+b) (0) (b+c) = (0)
que se transforma en estas dos ecuaciones
1) a+b=0
2) b+c=0
Es un sistema de 2 ecuaciones cuando las incógnitas son 3, luego es un sistema indeterminado, tomaremos como parámetro el elemento c y para que no haya confusión lo llamaremos t
c=t
por la ecuación 2
b+t=0
b=-t
y por la ecuación 1
a+(-t)=0
a=t
Luego la solución es
a=t, b=-t, c=t para todo t € R
Luego los polinomios del núcleo de la aplicación son aquellos de la forma
Kerf ={p(x) = t -tx +tx^2 | t€R}
Y eso es todo.
Si lo entendí gracias! y si efectivamente tuve un problema con el teclado y no se completo el enunciado. Aquí va el detalle, mi libro da cuatro posibles respuestas las cuales son:
a) 1+x
b) x-x^2
c) 1+x-x^2
¿pero despejando diferentes parámetros ninguno de esos resultados parece ser correcto?
Pues el problema es muy sencillo requiere poca revisión, si el enunciado está bien escrito de las ecuaciones
a+b=0
b+c=0
se deduce
b=-a
b=-c
Y eso significa que los coeficientes de a y c son iguales y el de b es el opuesto, no cabe otra respuesta. Como te decía antes e incluso haciéndolo más digestible poniendo los signos por separado, los polinomios del núcleo tienen la forma
t - tx + tx^2
o
-t + tx - tx^2
para todo t € R
Y ninguno de los tres polinomios que te dan tiene esa forma, en los a y b falta un término y en el c no hay coincidencia de signos, este si serviría -1+x-x^2.
Luego la respuesta es que ninguno de los tres pertenece al núcleo.
Y eso es todo.
