Encontrar la media y varianza de Y (matemáticas)

·

La media es la integral entre -infinito e infinito de x por la función de densidad. Como para x<=0 la función de densidad es nula haremos la integral entre 0 e infinito

$$\begin{align}&\mu=\int_0^{\infty}\frac 14xe^{-\frac x4}dx=\\&\\&u=x\quad\quad\quad\quad\quad du=dx\\&dv=\frac 14e^{-\frac x4}dx\quad v=-e^{-\frac x4}\\&\\&\left. =-xe^{-\frac x4}\right|_0^{\infty}+\int_0^{\infty}e^{-\frac x4}dx=\\&\\&-0+0-4e^{-\frac x4}\left.  \right|_0^{\infty}=-0+4e^0=4\end{align}$$

Y la varianza será la integral de (x-media)^2 por la función de densidad.  Pero por propiedades de la varianza se puede simplificar el cálculo como la (integral de x^2 f(x) dx) - media^2.  Además como esta vez se necesita hacer dos veces la integración por partes, vamos a dejar los límites en casa que montan un gran lío y resolvemos la indefinida lo primero.

Hay un problema y me ha borrado toda la integral hecha porque la coloca sobre la anterior machacándola, mando esto y pruebo de nuevo. O mejor, mándame otra pregunta solo para la varianza, que se lo merece.

1. La longitud en tiempo, en minutos, que le toma a un avión tomar cielo abierto de un aeropuerto es una variable aleatoria  y= 3x-2, donde x tiene la sig. Función de densidad

            f(x)= { 1/4e^-x/4         x > 0   
                           0           en otro caso

Encontrar la varianza de Y