Integral de Lebesgue...Analisis Matematico2!
Gracias anticipadas por todo su apoyo en este ejercicico de Análisis matemático...
a) Sea X un conjunto, y sea S=P(x).
Define la medida numerable como μ:S→[0,∞] por μ(A)=∞ si A es un conjunto infinito y μ(A)=n, donde n es el número de elementos contenidos en A cuando éste es finito. Demostrar que (X, S, μ) es un espacio de medida.
b) Sea μ la medida numerable en N.
Demostrar que la función f:N→R es integrable si y sólo si ∑_(n=1)^∞|f(n)| <∞. También demostrar en este caso que ∫〖fdμ=〗 ∑_(n=1)^∞〖f(n).〗
1 respuesta
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Las partes de un conjunto P(X) son una sigma-álgebra ya que tienen todos los subconjuntos posibkles de X, por tanto está el vacío y están todos los complementarios de cualquier elemento y cualquier unión finita.
Y la medida que se ha definicdo cumple
a) mu(vacio) = 0
b) es sigma-aditiva
Si, lo es.
La unión de infinitos conjuntos donde hay finitos no vacíos ara un conjunto finito cuya medida será la misma que la suma de las medidas de cada uno
Si hay infinitos no vacíos dará un conjunto infinito cuya medida es infinito, lo mismo que la suma de las medidas de ellos.
Si hay alguno infinito la unión es un conjunto infinito y la suma de las medidas también es infinito.
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El aparado b) mándalo en otra pregunta por favor, ahora no tengo la seguridad para contestarlo.
Saludos.
Luego no es sigma-aditiva y no es un espacio de medida.
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