Valores críticos de una función
Considera la función
$$\begin{align}&f(x)=(2x-1)^2 (9-x)\\&\\&\\&\end{align}$$, . Determina lo siguiente:
- La derivada de la función, lo más simplificada posible. Según mis cálculos el resultado de éste punto es: f(x)=-24x+80 (¿Esta bien?)
- Los valores críticos de la función.
- Si los valores críticos son máximos o mínimos.
- Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función.
1 respuesta
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1)
En lo de lo más simplificada posible no hay una norma universal, depende para que lo quieras, qué es lo que vas a hacer después, etc.
En este caso como vas a calcular puntos críticos después, lo más simplificada posible sería dejarla factorizada, que es algo que choca con la mentalidad de que lo más simplificada posible es como suma de monomios.
Si no fueras a calcular raíces sino calcular la segunda, tercera, etc. Entonces lo más simplificada posible si será como suma de monomios.
Bueno vamos a hacerla.
$$\begin{align}&f(x)=(2x-1)^2(9-x)\\&\\&f'(x) = 2·2(2x-1)(9-x)-(2x-1)^2\\&\\&f'(x)=(2x-1)(36-4x-2x+1)\\&\\&f'(x)=(2x-1)(37-6x)\end{align}$$2)
f'(x) = 0 ==> (2x-1) = 0 ó (37-6x)=0
Luego los ceros son
2x-1=0 ==> x= 1/2
37-6x=0 ==> x = 37/6
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Retorno a 1)
Pero si el profesor quiere que tenga forma de suma se hace y queda
y' = (2x-1)(37-6x) = 74x - 12x^2 - 37 +6x = -12x^2 + 80x - 37
3)
Y esto sirve para hacer mejor la derivada segunda
y''=-24x + 80
Entonces para el punto x=1/2
y''(1/2) = -12 + 80 = 68 luego es un mínimo
y''(37/6) = -4·37 + 80 = -68 es un máximo
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4) Podríamos deducir que la función f(x) es un polinomio de grado 3 cuyo coeficiente director (el de x^3) es negativo (no es necesario hacer todo el producto), con lo cual empieza valiendo infinito en el -infinito. De esta forma sabríamos que el primer intervalo (hasta la raíz menor) es decreciente, el segundo (entre las raíces) es creciente y el tercero (de la raíz mayor al infinito) es creciente.
Pero lo normal es que te hayan enseñado que se calcula el valor de la derivada primera en un punto de cada intervalo y el signo te indica si es creciente o decreciente
f'(x) = -12x^2 + 80x - 37
(-oo, 1/2) ==> f(0) = -37 ==> decreciente
(1/2, 37/6)==>f(1) = -12+80-37 = 31 ==> creciente
(37/6, oo) ==>f(10) = -1200 +800 -37 = -437 ==> decreciente
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Y eso es todo.
Perdón, me enfrasque en el problema y no constesté tu pregunta. Pues ya ves que la derivada que dices no es, como la función original tiene grado 3 si la desarrollaras, la derivada tendría grado 2.
¡Gracias! si me entendí lo único que no me quedo claro es porque en la segunda derivado ocupo "y" y no f(x)
Es indistinto, como y=f(x) unas veces uso f(x) y otras y
Por lo tanto
y' = f'(x)
y'' = f''(x)
Etc.
Tú hazlo como veas que lo hace tu profesor y así no tendrás problemas.
