¿Cuál es la derivada de la función f(x)= -1/38x^3+9.6x^2-25?
¿Cuál es la derivada de la función?
- La derivada de la función, lo más simplificada posible.
- Los valores críticos de la función.
- Si los valores críticos son máximos o mínimos. Para ver cuál es máximo y cual mínimo calculamos la derivada segunda.
- Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función así como los de concavidad
- Los puntos de inflexión
2 Respuestas
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1)
La derivada es:
$$\begin{align}&f'(x)=-\frac 3{38}x^2+19.2x\\&\\&\text{o si les parece más simplicado esto, adelante}\\&\\&f'(x) = \left(\frac 3{38}x+19.2 \right)x\end{align}$$2)
Los valores criticos de la función son los que anulan la derivada primera. Para ellos tomaremos mejor la segunda expresión y los valores críticos son los que anulan a alguno de los factores.
Para anular al factor x debe ser x=0 ese es un punto crítico.
Y el otro sale de hacer
-(3/38)x + 19.2 = 0
(3/38)x = 19.2
x = 19.2 · 38 / 3 = 243.2
Luego los puntos críticos son x=0 y x=243.2
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3)
Hallamos la derivada segunda para calcular si son máximos o mínimos porque nos lo dicen, pero a veces se puede deducir sin calcularla.
f ''(x) = -(6/38)x + 19.2 = - (3/19)x + 19.2
y calculamos el valor de la derivada segunda en los puntos críticos
f ''(0) = -(3/19)·0 + 19.2 = 19.2
como es un valor positivo, x=0 es un mínimo relativo
f ''(243.2) = -(3/19)(243.2) + 19.2 = -19.2
Como es un valor negativo tenemos que x=243.2 es un máximo relativo
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4)
Los intervalos de crecimiento o decrecimiento están delimitados por las raíces de la derivada primera. El cálculo del signo se hace sabiendo como es la gráfica de un polinomio de grado 2 con coeficiente de x^2 negativo o tomando un punto interior de cada intervalo y calculando el valor de la derivada primera en él.
Esta segunda forma te la dejo a ti como ejercicio si no te convence la primera.
Entonces la forma de calcular el signo de la derivada primera es esta:
f'(x) = -(3/38)x^2 + 19.2x
Es una parábola con el vértice hacia arriba. Empieza por la izquierda valiendo -infinito, cruza a positivo cuando llega a la raíz x=0, sigue siendo positivo hasta llegar a la otra raíz x=243.2 y termina en negativo hasta llegar a - infinito.
Luego los intervalos son
(-oo, 0) f'(x)<0 ==> f decreciente
(0, 243.2) f'(x)>0 ==> f creciente
(243.2, oo) f'(x)<0 ==> f decreciente
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Los intervalos de concavidad y convexidad los delimitan las raíces de la derivada segunda
f ''(x) = - (3/19)x + 19.2
- (3/19)x + 19.2 = 0
(3/19)x = 19.2
x=19.2 · 19/3 = 121.6
Ese es el punto de inflexión x=121.6
Y el signo de la derivada segunda viene dado porque es una recta con pendiente negativa, que empieza valiendo infinito y llega a -infinito, luego antes de la raíz es positivo y después negativo
(-oo, 121.6) f ''>0 ==> f es cóncava hacia arriba, forma de U
(121.6, oo) f''<0 ==> f es cóncava hacia abajo, foma de iglú.
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5) El punto de inflesión ya se había calculado antes x=121.6, si quieres calcular la coordenada y del punto calculas f(121.6) te lo dejo como ejercicio.
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Y eso es todo.